1.1.3.    Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности

Исследуем спектр сигнала, возникающего на выходе идеального импульсного модулятора и описываемого выражением (1.5). Заметим, что сигнал вида МИП с точностью до коэффициента пропорциональности D равен произведению функции x(t) и дискретизирующей последовательности h(t):

.                                                  (1.6)

Согласно данной модели значения сигнала в паузах условно считаются равными нулю.

Известно, что спектр произведения двух сигналов пропорционален свёртке их спектральных плотностей. Поэтому, если известны законы соответствия сигналов и их спектров: x(t)«Sx(w); h(t)«Sh(w), то спектральная плотность МИП-сигнала определится следующим образом:

                                     (1.7)

Чтобы найти спектральную плотность Sh(w) дискретизирующей последовательности, разложим периодическую функцию h(t) в комплексный ряд Фурье:

.

Коэффициенты этого ряда при (n = 0, ±1, ±2, …) определятся следующим образом:

.

Вспомнив формулу о спектральной плотности постоянного во времени сигнала, получим:

                                                    (1.8)

т.е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта-импульсов в частотной области. Данная спектральная плотность является периодической функцией с периодом 2p/D с-1.

Заметим, что модулированная импульсная последовательность является предельным случаем стробированного сигнала. Здесь длительность прямоугольных импульсов, формирующих выборки, стремится к нулю.

Наконец, подставив формулу (1.8) в формулу (1.7) и изменив порядок следования операций интегрирования и суммирования, находим:

            (1.9)

Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы 2p/D, равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности (рис. 1.4).