1.1.4.    Восстановление непрерывного сигнала по модулированной импульсной последовательности

В дальнейшем будем полагать, что вещественный сигнал x(t) имеет низкочастотный спектр, симметричный относительно точки w = 0 и ограниченный верхней граничной частотой wb. Из рисунка 1.4, б следует, что если wb £ p/D, то отдельные копии спектра Sx(w) не накладываются друг на друга. Поэтому аналоговый сигнал с таким спектром, подвергнутый импульсной дискретизации может быть совершенно точно восстановлен с помощью идеального фильтра низкой частоты (ФНЧ), на вход которого подана импульсная последовательность вида (1.5). При этом наибольший допустимый интервал дискретизации равен:

D = p/wb = 1/(2fb),

что согласуется с теоремой Котельникова.

Действительно, пусть фильтр, восстанавливающий непрерывный сигнал, имеет частотный коэффициент передачи:

Импульсная характеристика этого фильтра описывается выражением

.

Принимая во внимание, что МИП-сигнал вида (1.5) есть взвешенная сумма дельта-импульсов, находим отклик на выходе восстанавливающего фильтра:

.                                    (1.10)

Данный сигнал с точностью до масштабного коэффициента повторяет исходные колебания с ограниченным спектром.

Идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для объяснения принципа восстановления сообщения по его дискретным импульсным отсчётам. Реальный фильтр нижних частот имеет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), которая охватывает либо несколько лепестков спектральной диа

граммы МИП, либо, концентрируясь вблизи нулевой частоты, оказывается значительно уже центрального лепестка спектра.

Для примера на рис. 1.5, б – е приведены кривые, характеризующие сигнал на выходе RC-цепи, используемой в качестве восстанавливающего фильтра (рис. 1.5, а). Из приведённых графиков видно, что реальный восстанавливающий фильтр неизбежно искажает исходное колебание. Заметим, что для восстановления сигнала можно использовать как центральный, так и любой боковой лепесток спектральной диаграммы.

Удовлетворительные результаты можно получить, используя в качестве восстанавливающего фильтра ФНЧ с характеристикой Баттерворта достаточно высокого порядка (n > 5).