1.1.   Квантовое ограничение

Свободный электрон, движущийся в трехмерной системе (3D), имеет кинетическую энергию (), величина которой, в соответствии с пространственными компонентами его импульса px, py, pz, составляет:

,

или, в волновом представлении,

(1.1)

где m – эффективная масса электрона (в твердых телах она обычно меньше, чем масса покоя электрона m0); – приведенная постоянная Планка ( = h/2π); kx, ky, kz – пространственные компоненты волнового вектора.

Рис. 1.1. Потенциальная яма и волновые функции электронов в ней

Плотность электронных состояний при этом является непрерывной функцией энергии:

.

(1.2)

B низкоразмерной структуре свободное движение электрона ограничено, по крайней мере, в одном направлении. B данном направлении (пусть это будет направление вдоль оси х) потенциальная энергия электрона может быть представлена в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы (рис. 1.1).

Если ширина ямы вдоль оси x равна а, то в области 0 < х < а электрон имеет нулевую потенциальную энергию. Бесконечно высокий потенциальный барьер делает невозможным нахождение электрона за границами этой области.

Таким образом, волновая функция электрона должна обращаться в нуль на границах потенциальной ямы, т. е. при х = 0 и х = а. Такому условию отвечает лишь ограниченный набор волновых функций. Это – стоячие волны с длиной λ, определяемой соотношением:

.

 (1.3)

Соответствующие разрешенные значения волнового вектора дискретны и равны:

(1.4)

Как следствие, энергии разрешенных энергетических состояний электрона в яме тоже оказываются дискретными. Спектр этих состояний имеет вид:

.

 (1.5)

Целое число n является квантовым числом, обозначающим квантовое состояние. Таким образом, электрон, помещенный в ограниченную область пространства, может занимать только дискретные энергетические уровни. Самое низкое состояние имеет энергию:

,

(1.6)

которая всегда больше нуля.

Ненулевая минимальная энергия отличает квантово-механическую систему от классической, для которой энергия частицы, находящейся на дне потенциальной ямы, тождественно равна нулю. Кроме того, разрешенные значения энергии для электрона оказываются квантованными и пропорциональны n2.

Для того чтобы удовлетворить принципу неопределенности ΔpΔx/2 (в нашем случае Δx = a), неопределенность импульса электрона должна быть Δp/2a, что отвечает минимальному изменению энергии

,

которое (сточностью до множителя π2/4) соответствует приведенному выше выражению (1.6) для E1. Таким образом, принцип неопределенности также приводит нас к вывод