1.1.       Модели дискретных сигналов

Если аналоговый сигнал имеет математическую модель вида непрерывной или кусочно-непрерывной функции, то отвечающий ему дискретный сигнал x_д(t) представляет собой последовательность (… x_-1, x₀, x₁, x₂, …) отсчётных значений сигнала x(t) в точках (… , t_-1, t₀, t₁, t₂, …) соответственно.

1.1.1.    Дискретизирующая последовательность

На практике отсчёты дискретных сигналов берут во времени через равный промежуток (D), называемый интервалом(шагом) дискретизации:

D = t_{m –} t_m-1 = t_{m-1 –} t_m-2 =…                 (1.1)

Операцию дискретизации, т.е. переход от аналогового сигнала x(t) к дискретному сигналу x_д(t), можно описать, введя в рассмотрение обобщённую функцию:

,                        (1.2)

называемую дискретизирующей последовательностью (рис. 1.1).

Очевидно, дискретный сигнал x_д(t) представляет собой функционал, определённый на множестве всевозможных аналоговых сигналов x(t) и равный скалярному произведению функций x(t) и h(t):

.        (1.3)

Формула (1.3) указывает путь практической реализации устройства для дискретизации аналогового сигнала. Работа дискретизатора основана на операции стробирования (перемножения) обрабатываемого сигнала x(t) и «гребенчатой» функции h(t). Поскольку длительность отдельных импульсов, из которых складывается дискретизирующая последовательность, равна нулю, на выходе идеального дискретизатора в равноотстоящие моменты времени возникают отсчётные значения обрабатываемого аналогового сигнала.

1.1.2.    Модулированные импульсные последовательности

На выходе модулятора (рис. 1.2) возникает последовательность импульсов, каждый из которых имеет площадь, пропорциональную соответствующему отсчётному значению аналогового сигнала. Сигнал x_мип(t) на выходе импульсного модулятора будем называть модулированной импульсной последовательностью (МИП). Естественно, что дискретный сигнал является математической моделью МИП.

Отметим, что с принципиальной точки зрения характер импульсов, из которых складывается МИП, не имеет значения. В частности, эти импульсы могут иметь одинаковую длительность, в то время как их амплитуда пропорциональна отсчётным значениям дискретного сигнала. Такой вид преобразования непрерывного сигнала получил название амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). Возможен другой способ – широтно-импульсная модуляция (ШИМ), при котором амплитуды импульсов на выходе модулятора постоянны, а их длительность (ширина) пропорциональна мгновенным значениям аналогового колебания (рис. 1.3).

Важнейшее применение импульсно-модулированных сигналов – создание многоканальных систем связи с временным разделением каналов. В ряде случаев в системе с импульсной модуляцией можно добиться большей помехоустойчивости по сравнению с

той, которая может быть достигнута при использовании в качестве несущего колебания простого гармонического сигнала.

Математическую модель идеальной МИП можно получить следующим образом. Рассмотрим формулу динамического представления сигнала x(t) /10, разд. 1/:

                                                 (1.4)

Поскольку МИП определена лишь в точках t_k = kD (k = 0, ±1, ±2, …), интегрирование в формуле (1.4) следует заменить суммированием по индексу k. Роль дифференциала dt будет играть интервал (шаг) дискретизации (D). Тогда математическая модель модулированной импульсной последовательности, образованной бесконечно короткими импульсами, окажется заданной выражением:

,                                           (1.5)

где x_k(t) = x(kD) – выборочное значение аналогового сигнала.