1.2.1.    Дискретное преобразование Фурье

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и сопоставим исходному колебанию x(t) его дискретное МИП-представление:

.                                           (1.14)

Представим дискретную модель (1.14) комплексным рядом Фурье:

                                            (1.15)

с коэффициентами:

.                                          (1.16)

Подставляя формулу (1.14) в формулу (1.16) и вводя безразмерную переменную x = t/D, получим:

Наконец, используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим:

.                                               (1.17)

Формула (1.17) определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ) рассматриваемого сигнала. Отметим некоторые очевидные свойства ДПФ:

1) дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование, т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ;

2) число различных коэффициентов C₀, C₁, C₂, …, C_N-1, вычисляемых по формуле (1.17), равно числу (N) отсчётов за период; при n = N коэффициент С_N = C₀;

3) коэффициент С₀ (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов:

;

4) если N – чётное число, то

;

5) пусть отсчётные значения x_k – вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексно сопряжённые пары:

Поэтому можно считать, что коэффициенты С_N/2+1, …, C_N-1 отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новых сведений.

Пример

Дискретный сигнал на интервале своей периодичности задан шестью равноотстоящими отсчётами {x_k} = (1, 1, 1, 0, 0, 0) (рис. 1.7). Найти коэффициенты ДПФ такого сигнала.

Используя основную формулу (1.17), непосредственно вычислим:

;

;

;

.

Последующие коэффициенты находим на основании свойства 5 ДПФ:

.

Итак, располагая дискретным сигналом с числом отсчётов N = 6, можно найти постоянную составляющую, а также комплексные амплитуды первой, второй, и третьей гармоник исходного непрерывного сигнала. Ясно, что при любом чётном N число находимых гармоник составляет половину числа отсчётов. Это положение непосредственно вытекает из теоремы Котельникова. Действительно, верхнюю границу частоты в спектре дискретизированного сигнала следует находить из соотношения:

f_b = 1/(2D) = (N/2)f₁,

где f₁ = 1/T – частота первой гармоники. Заранее предполагается, что исходный сигнал удовлетворяет условиям теоремы Котельникова.