1.2.2. Спектр периодической импульсной последовательности

Известно, что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие. Результат воздействия на схему каждой составляющей определяется сравнительно просто. Пользуясь принципом наложения, можно действие импульса на линейную цепь заменить суммарным действием вcex его составляющих.

Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:

где f(t) – функция, раскладываемая в ряд, w1 = 2pf1, а f1 = 1 / T – частота следования импульсов. Коэффициенты ряда (1.1) определяются следующими выражениями:

где n = 1, 2 . . .

В некоторых случаях разложение в ряд Фурье упрощается. Так, если кривая симметрична относительно оси ординат, т. е. если f(t) = f(-t) (рис. 1.5, a), то в разложении будут отсутствовать синусоидальные составляющие. Для доказательства этого на рис. 1.5, 6 показано суммирование косинусоидальной и синусоидальной составляющих. Как видно, наличие второй из них нарушает указанную симметрию.

Если кривая симметрична относительно начала координат (примером является синусоида), т.е. если f(t) = -f(-t) (рис. 1.6, а), то в разложении отсутствуют косинусоидальные гармоники и постоянная составляющая. Действительно, при наличии в разложении косинусоидальных составляющих кривая перестанет быть симметричной относительно начала координат (рис. 1.6, б). Аналогичным образом можно убедиться, что в разложении кривой (см. рис. 1.6, а) отсутствует постоянная составляющая.

Наконец, если кривая симметрична относительно оси абсцисс (рис. 1.7, а), т.е. если f(t) = - f(t + T/2), то в разложении отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четных номеров. О последнем свидетельствует результирующая кривая на рис. 1.7, б, являющаяся суммой первой и второй гармоник.

Аналогичным образом можно убедиться, что в разложении отсутствует постоянная составляющая.

Совокупность гармоник, составляющих данное несинусоидальное колебание, представляет собой спектр этого колебания. Графическое изображение спектра колебания называют спектральной диаграммой.

На спектральной диаграмме каждая гармоника изображается вертикальной линией. Длина этой линии пропорциональна амплитуде гармоники, а ее положение на оси абсцисс определяется частотой гармоники. Спектральная диаграмма дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник от их частот. Наряду с временной диаграммой, векторным и аналитическим выражениями функции спектральная диаграмма широко используется для характеристики различных колебательных процессов.

На рис. 1.8 приведены соответственно временная, векторная и спектральная диаграммы функции u = Umsinwt.

Определим спектры и построим спектральные диаграммы для нескольких импульсных последовательностей.

Пример 1.2. На рис. 1.9, а приведена временная диаграмма импульсного напряжения прямоугольной формы с периодом повторения Т = 1 мс и длительностью импульса tи = 20 мкс. Указанная последова­тельность симметрична относительно оси ординат, поэтому в состав ее спектра (разложения) синусоидальные составляющие не входят, т.е.

Как следует из рис. 1.9, а, в интервале времени tи / 2 £ t £ tи / 2 (в пределах одного периода Т) функция u(t) = Um, а в интервале времени от tl до t2 (т.е. в паузе) напряжение u(t) = 0. Поэтому при вычислении амплитуд гармоник (коэффициентов ряда) будем интегрировать лишь в пределах от -tи / 2 до

tи / 2, где значение функции u(t) ¹ 0. Отметим также, что в силу симметрии заданной функции относительно оси о