1.2.4.    Дискретная свёртка

По аналогии с обычной свёрткой двух сигналов

вводят дискретную свёртку-сигнал, отсчёты которого связаны с отсчётами дискретных сигналов xд(t) и yд(t) соотношением:

,    m = 0, 1, 2,…, N – 1                               (1.20)

Найдём связь между коэффициентами дискретной свёртки и ДПФ сигналов xд(t), yд(t). Для этого выразим текущее значение отсчетов xk и ym-k как ОДПФ от соответствующих спектров:

;

.

а затем подставим эти значения в формулу (1.20):

.

Изменив порядок суммирования, получим,

.                               (1.21)

Нетрудно заметить, что внутренняя сумма может быть вычислена на основании свойства ортогональности элементов базиса Фурье. Воспользовавшись этим, получим:

                                                           (1.22)

Описанный здесь алгоритм свёртки периодических сигналов иногда называют круговой или циклической свёрткой.

Поскольку формула (1.22) есть ОДПФ, приходим к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье свёртки являются произведением коэффициентов ДПФ свёртываемых сигналов:

.                                    (1.23).

Этот результат имеет большое значение в теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. Оказывается, что если сигналы достаточно длинны (например, содержат несколько тысяч отсчётов), то для вычисления свёртки целесообразно вначале найти их ДПФ, перемножить коэффициенты, а затем воспользоваться формулой (1.22), применив алгоритм БПФ. Такой способ вычислений часто более экономичен, чем прямое использование формулы (1.20).