1.3.1.  Общие сведения о ДПФ

В 1807 французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье представил во Французский Институт (Institute de France) доклад о синусоидальном представлении температурных распределений. Доклад содержал спорное утверждение о том, что любой непрерывный периодический сигнал может быть представлен суммой выбранных должным образом сигналов синусоидальной формы. Среди членов комитета, занимавшихся обзором публикаций, были два известных математика – Жозеф Луи Лагранж и Пьер Симон де Лаплас. Лагранж категорически возразил против публикации на основании того, что подход Фурье неприменим к разрывным функциям, таким как сигналы прямоугольной формы. Работа Фурье была отклонена, прежде всего, из-за возражения Лагранжа, и была издана после смерти Лагранжа, приблизительно пятнадцатью годами позже.

На самом деле и Фурье, и Лагранж были, по крайней мере, частично правы. Лагранж был прав в том, что суммированием сигналов синусоидальной формы невозможно точно сформировать сигнал, содержащий вертикальный фронт. Но можно очень точно к нему приблизиться, если использовать достаточное количество гармонических сигналов (это описывается эффектом Гиббса и сегодня хорошо понятно ученым, инженерам и математикам).

Анализ Фурье закладывает основы многих методов, применяющихся в области

цифровой обработки сигналов. По сути дела, преобразование Фурье (фактически существует несколько вариантов таких преобразований) позволяет сопоставить сигналу, заданному во временной области, его эквивалентное представление в частотной области. Наоборот, если известна частотная характеристика сигнала, то обратное преобразование Фурье позволяет определить соответствующий сигнал во временной области.

В дополнение к частотному анализу эти преобразования полезны при проектировании фильтров. Частотная характеристика фильтра может быть получена посредством преобразования Фурье его импульсной реакции. И наоборот, если определена частотная характеристика сигнала, то требуемая импульсная реакция может быть получена с помощью обратного преобразования Фурье над его частотной характеристикой. Цифровые фильтры могут быть созданы на основе их импульсной реакции, поскольку коэффициенты фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) идентичны дискретной импульсной реакции фильтра.

С течением времени принятые определения семейства преобразований Фурье (рис.1.9) получили развитие (не обязательно вполне логичное) в зависимости от того, является ли сигнал непрерывно-апериодическим (continuous–aperiodic), непрерывно-периодическим (continuous–periodic), дискретно-апериодическим (sampled–aperiodic) или дискретно-периодическим (sampled–periodic). Термин sampled означает то же самое, что discrete (дискретный) (то есть дискретные по времени выборки).

К непрерывныно-апериодическим сигналам можно отнести, например, затухающие экспоненциальные (показательные функции), Гауссовскую кривую (кривую нормального распределения) и любой одиночный импульс. Эти сигналы простираются и на положительную, и на отрицательную бесконечную ось времени без того, чтобы повториться в периодическом образце. Преобразование Фурье для сигналов такого типа просто называется трансформантой Фурье, или преобразованием Фурье.

К непрерывно-периодическим сигналам относятся любые периодические сигналы, форма импульса которых, повторяет себя регулярно на всей бесконечной оси времени (синусоидальный сигнал, меандр). Преобразования Фурье для сигналов такого типа называется рядом Фурье.

Дискретно-апериодические сигналы определены только в дискретных точках на всей бесконечной оси времени, и не повторяют себя периодическим способом. Преобразования Фурье этого типа называется преобразованием Фурье с дискретным временем.

К дискретно-периодическому сигналу можно отнести дискретный апериодический сигнал, который повторяет сам себя периодически бесконечное число раз на всей оси времени. Преобразование Фурье сигналов такого класса иногда называется дискретным рядом Фурье, но наиболее часто его называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Единственный член семейства преобразований Фурье, который имеет отношение