1.3.8.    Расширение спектра анализируемого сигнала и взвешивание с использованием оконной функции

Расширение спектра анализируемого сигнала при вычислении БПФ может быть лучше всего проиллюстрировано на выполнении N-точечного БПФ с синусоидальным входным сигналом. Рассмотрим две ситуации. В первом случае соотношение между частотой дискретизации и частотой входного синусоидального сигнала таково, что в выборке содержится в точности целое число периодов синусоидального сигнала. Напомним, что вычисление ДПФ предполагает, что выборка повторяется бесконечное число раз до и после исследуемого фрагмента сигнала, формируя таким способом бесконечный непрерывный периодический сигнал (рис. 1.28).

При таких условиях форма входного сигнала представляет собой непрерывную синусоидальную функцию, и на выходе ДПФ или БПФ будет один ненулевой частотный отсчет, соответствующий частоте входного сигнала. В ситуации, когда в выборке

нет целого числа периодов синусоидального сигнала (рис. 1.29), разрывы, которые образуются в конечных точках выборки, приводят к расширению спектра анализируемого сигнала вследствие появления дополнительных гармоник. В дополнение к появлению боковых лепестков происходит расширение основного лепестка, что приводит к снижению разрешающей способности по частоте. Этот процесс эквивалентен перемножению входного синусоидального сигнала с прямоугольным импульсом, который имеет известную частотную характеристику  и связанные с этим широкий основной лепесток и боковые лепестки.

Обратите внимание, что первый боковой лепесток только на 12 дБ ниже основного, и что боковые лепестки имеют спад только 6 дБ на октаву. Такая ситуация неприемлема для большинства задач анализа спектра. Поскольку в практических приложениях БПФ для спектрального анализа точные входные частоты неизвестны, следует предпринять определенные шаги к уменьшению боковых лепестков. Оно достигается выбором оконной функции с более сложной формой, чем прямоугольная. Входные отсчеты по времени умножаются на соответствующую функцию окна, что влечет за собой обнуление сигнала на краях выборки (рис. 1.30).

Выбор функции окна является, прежде всего, компромиссом между увеличением ширины основного лепестка и размером боковых лепестков. Математические функции, описывающие четыре популярные оконные функции, имеют вид:

· Хемминга

;

· Блэкмана

;

· Хеннинга

;

· минимальная 4-элементная Блэкмана- Харриса

.

Оцифрованные оконные функции обычно вычисляются предварительно и сохраняются в памяти DSP с целью минимизации вычислений непосредственно при реализации БПФ.

Таблица 1.4 иллюстрирует компромисс между увеличением ширины основного лепестка, амплитудой первого бокового лепестка и спадом уровня боковых лепестков для популярных функций окна.

Таблица 1.4 Распространенные окна и их характеристики

Функции окна

Ширины полосы

Наивысший боковой лепесток, дБ

Спад бокового лепестка, дБ/октава

3 дБ

6 дБ

Прямоугольная

0,89

1,21

–12

6

Хемминга

1,30

1,81

–43

6

Блэкмана

1,68

2,35

–58

18

Хеннинга

1,44

2,00

–32

18

Минимальная 4-элемен­т­ная Блэкмана-Харриса

1,90

2,72

–92

6