1.3.   Туннелирование носителей заряда

Термин «туннелирование» (tunneling) означает перенос частицы через область (или проникновение в эту область), ограниченную потенциальным барьером, высота которого больше полной энергии данной частицы. Такой эффект невозможен с точки зрения классической механики, однако имеет место для квантовых частиц, которым, как известно, присущ корпускулярно-волновой дуализм. Волновые свойства квантовых частиц приводят и к другому, аномальному с точки зрения классической механики эффекту – надбарьерному отражению. Рассмотрим основные закономерности этих явлений.

Взаимодействие квантовых частиц с различными потенциальными барьерами иллюстрирует рис. 1.5.

Рис. 1.5. Взаимодействие квантовой частицы с полной энергией E

Согласно классической механике, частица с энергией E < U0, движущаяся слева направо, то есть приближающаяся к потенциальному барьеру, отразится от него и начнет двигаться в обратном направлении. Если же E > U0, то частица продолжит движение в прежнем направлении. B квантовой механике картина иная.

На языке квантовой механики движение частицы в одномерном потенциальном поле U(x) описывается уравнением Шредингера:

где m – масса частицы,  - ее волновая функция.

В первом случае, когда энергия квантовой частицы больше высоты ступенчатого барьера (Ε>U0), в области перед потенциальным барьером, где U(x) = 0, решение уравнения Шредингера для частицы с импульсом

(1.15)

имеет вид суперпозиции двух волн:

(1.16)

где A’, B – константы, i – мнимая единица. Bолновyю функцию обычно нормируют таким образом, что A’ = 1.

Первый член в выражении (1.16) соответствует падающей на барьер волне, движущейся вдоль оси х слева направо. Второй член описывает отраженную волну, движущуюся вдоль оси х в противоположном направлении.

При х → ∞ волновая функция прошедшей над потенциальным барьером частицы имеет асимптотический вид:

ψ = A exp (ik2x),

где

.          

(1.17)

Плотность потока в падающей волне пропорциональна k1, в отраженной – k1|B|2, а в прошедшей – k2|A|2. Коэффициент прохождения частицы через границу потенциального барьера, определяемый как отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей волне, равен:

(1.18)

Коэффициент отражения частицы от потенциального барьера, определяемый отношением плотности отраженного потока к плотности падающего потока, равен:

(1.19)

Очевидно, что R(E) = 1 – T(E).

Постоянные A и B, определенные из условия непрерывности волновой функции и ее первой производной при x = x0, равны:

;               3_nanoelectron/pic13_7.gif>

(1.20)

В соответствии с выражением (1.20) коэффициенты отражения и прохождения равны:

;            

(1.21)

Из выражений (1.21) следует, что при E = U0 (k2 = 0) коэффициент отражения R обращается в единицу, а коэффициент прохождения – в нуль. С ростом энергии частицы коэффициент отражения уменьшается и стремится к нулю при E → ∞, так как

R ≈ (U0/4E)2   при     E >> U0.

Если квантовая частица движется над прямоугольным потенциальным барьером высотой U0 и конечной толщиной a = x2x1, то решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид:

Ψ1 = exp(ik1x) + Cexp(–ik1x),      x<x1;

Ψ2 = Dexp(ik2x) + Fexp(–ik2x),      x1<x<x2;

Ψ3 = Gexp(ik1x),           x>x2,

(1.22)

где волновые векторы k1 и k2 определяются по формулам (1.15), (1.17), а C, D, F, G – константы. В выражениях (1.22) члены exp(ik1x) и Cexp(-ik1x) описывают соответственно падающую и отраженную волны, а Gexp(-ik1x) – прошедшую волну. Постоянные C, D, F, G определяются из условий непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках x = x1 и x = x2.

Коэффициент прохождения частицы в данном случае определяется как T(E) = |G|2, что приводит к выражению:

(1.23)

Максимум коэффициента прохождения, T(E) = 1, достигается для частиц с энергиями:

,        где n=0, 1, 2,3,…

  

При других значениях энергии наблюдается частичное отражение падающих на барьер частиц. Таким образом, из квантовой теории следует, что даже в случае, когда энергия падающей на потенциальный барьер частицы больше высоты этого барьера, коэффициент ее отражения может быть отличен от нуля. Этим квантовая частица отличается от классической, для которой никакого отражения в подобной ситуации быть не может.

Рассмотрим теперь другой практически важный случай, когда квантовая частица взаимодействует с прямоугольным потенциальным барьером шириной a, высота которого больше ее энергии (E < U0). Классическая частица не может пройти через такой барьер. Она будет отражаться в так называемых классических точках поворота. Точка поворота (turning point) – это точка с координатой х, в которой кинетическая энергия частицы обращается в нуль, то есть ее полная энергия (E) равна U(x). Для прямоугольного барьера точки поворота совпадают с координатами его границ (см. рис.1.5, точки х1 и х2). Достигнув точки поворота, частица меняет направление своего движения и начинает двигаться в обратном направлении.

Для квантовой частицы решение уравнения Шредингера в каждой из трех областей (перед, внутри и за барьером) имеет вид:

                                   Ψ1 = exp(ik1x) + B1exp(–ik1x),      x<x1

                                   Ψ2 = A2exp(–ζx) + B2exp(ζx),    x1<x<x2

                                   Ψ3=A3exp(ik1x),     x>x2 ,

(1.25)

где волнов