2.2.   Фильтры нижних частот

Схема простейшего фильтра нижних частот приведена на рис. 2.1. Передаточная функция этого фильтра определяется из выражения:

.

Заменив в этом выражении s на jω, получим частотную характеристику фильтра. Для реализации общего подхода целесообразно нормировать комплексную переменную s. Положим:

S = s/ωc,

где ωc – круговая частота среза фильтра. В частотной области этому соответствует:

jΩ = j(ω /ωc).

Частота среза (ωc) фильтра на (см. 2.1) равна 1/RC. Отсюда получим S = s·RC и

.                             (2.1)

Используя передаточную функцию для оценки зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты, запишем:

|.

При Ω >> 1, т.е. для случая, когда частота входного сигнала много больше круговая частота среза фильтра (ω >> ωc),

|W(jΩ)| = 1/Ω.

Это соответствует снижению коэффициента передачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид:

,                                      (2.2)

где α1, α2,…, αn – действительные положительные коэффициенты.

Из формулы (2.2)следует, что

|W(jΩ)| ~ 1/Ωn            при     Ω >> 1.

Полюса передаточной функции (2.2) – вещественные отрицательные. Таким свойством обладают пассивные RC-фильтры n-го порядка. Соединив последовательно фильтры с одинаковой частотой среза, получим:

.

Этот случай соответствует критическому затуханию.

Передаточная функция фильтра нижних частот (ФНЧ) в общем виде может быть записана следующим образом:

,                                        (2.3)

где K0 – коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте; с1, с2,…, сn – положительные действительные коэффициенты.

Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной S. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди нулей полинома есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома (2.2) не может быть использовано. В этом случае следует записать его в виде произведения квадратных трехчленов:

,                                             (2.4)

где ai и bi – положительные действительные коэффициенты.

Для полиномов нечетных порядков коэффициент b1 равен нулю. Реализация комплексных нулей полинома на пассивных RC-цепях невозможна. Применение индуктивных катушек в низкочастотной области нежелательно из-за больших габаритов и сложности изготовления катушек, а также из-за появления паразитных индуктивных связей. Схемы с операционными усилителями позволяют обеспечить комплексные нули полиному без применения индуктивных катушек. Такие схемы называют активными фильтрами.

Рассмотрим различные способы задания характеристик ФНЧ. Широкое применение нашли фильтры Бесселя, Баттерворта и Чебышева, отличающиеся крутизной наклона амплитудно-частотной характеристики (рис. 2.2) в начале полосы задерживания и колебательностью переходного процесса при ступенчатом воздействии.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта (рис. 2.2, кривая 3) имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева (рис. 2.2, кривая 4) спадает более круто за частотой среза. В полосе пропускания она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует бол