2.6.   Реализация фильтров на операционных усилителях

С ростом порядка фильтра его фильтрующие свойства улучшаются. На одном ОУ достаточно просто реализуется фильтр второго порядка. Для реализации фильтров нижних частот, высших частот и полосовых фильтров широкое применение нашла схема фильтра второго порядка Саллена-Ки. На рис. 2.4 приведен ее вариант для ФНЧ. Отрицательная обратная связь, сформированная с помощью делителя напряжения R3, (α – 1)R3, обеспечивает коэффициент усиления, равный α. Положительная обратная связь обусловлена наличием конденсатора С2.

Передаточная функция фильтра имеет вид:

.                  (2.12)

Расчет схемы существенно упрощается, если с самого начала задать некоторые дополнительные условия. Можно выбрать коэффициент усиления α = 1. Тогда

(α – 1)R3 = 0,

и резистивный делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи можно исключить. Операционный усилитель оказывается включенным по схеме неинвертирующего повторителя. В простейшем случае он может быть даже заменен эмиттерным повторителем на составном транзисторе. При α = 1 передаточная функция фильтра принимает вид:

.

Считая, что емкости конденсаторов С1 и С2 выбраны, получим для заданных значений а1 и b1 с учетом выражения (2.4):

K0 = 1;

.

Чтобы значения R1 и R2 были действительными, должно выполняться условие:

.

Расчеты можно упростить, положив R1 = R2 = R и С1 = С2 = С. В этом случае для реализации фильтров различного типа необходимо изменять значение коэффициента α. Тогда передаточная функция фильтра будет иметь вид:

.

Отсюда с учетом формулы (2.4) получим:

;

.

Из последнего соотношения видно, что коэффициент α определяет добротность полюсов и не влияет на частоту среза. Величина α в этом случае определяет тип фильтра.

Поменяв в схеме (см. рис. 2.4) местами сопротивления и конденсаторы получим фильтр верхних частот (рис. 2.5). Его передаточная функция имеет вид:

.

Для упрощения расчетов положим α = 1 и С1 = С2 = С. При этом получим следующие формулы:

KБЕСК = 1;

R1 = 2/ωcCa1;

R2 = a1/2ωcCb1.

Если АЧХ фильтра второго порядка оказывается недостаточно крутой, следует применять фильтр более высокого порядка. Для этого последовательно соединяют звенья, представляющие собой фильтры первого и второго порядка. В этом случае АЧХ звеньев фильтра перемножаются (в логарифмическом масштабе – складываются). Однако следует иметь в виду, что последовательное соединение, например, двух фильтров Баттерворта второго порядка, не приведет к получению фильтра Баттерворта четвертого порядка. Результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую частотную характеристику. Поэтому необходимо задавать такие коэффициенты звеньев фильтра, чтобы результат перемножения их частотных характеристик соответствовал фильтру желаемого типа.

Полосовой фильтр второго порядка можно реализовать на основе схемы Саллена-Ки (рис. 2.6). Передаточная функция фильтра имеет вид:

.                                  (2.13)

Приравнивая коэффициенты этого выражения к коэффициентам передаточной функции (2.9), получим формулы для расчета параметров фильтра:

fP = 1/2πRC;

KP = α/(3 – α);

Q = 1/(3 – α).

Недостаток схемы (рис. 2.6) состоит в том, что коэффициент усиления на резонансной частоте (KP) и добротность (Q) не являются независимыми друг от друга. Достоинство схемы – ее добротность изменяется в зависимости от α, тогда как резонансная частота от коэффициента α не зависит.

no.ru/wp-content/image_post/micrshema/pic43_1.gif> Активный заграждающий фильтр может быть реализован на основе двойного Т-образного моста. Хотя двойной Т-образный мост сам по себе является заграждающим фильтром, его добротность составляет только 0,25. Ее можно повысить, если мост включить в цепь обратной связи ОУ.

Подпись: Рис. 2.1. Простейший фильтр нижних частот 
первого порядка
Один из вариантов такой схемы приведен на рис. 2.7. Сигналы высоких и низких частот проходят через двойной Т-образный мост без изменения. Для них выходное напряжение фильтра равно αUВХ. На резонансной частоте выходное напряжение равно нулю. Передаточная функция схемы (рис. 2.7) имеет вид:

или учитывая, что ωР = 1/RC,

.                                (2.14)

С помощью выражения (2.14) можно непосредственно определять требуемые параметры фильтра. Задав коэффициент усиления неинвертирующего усилителя равным 1, получим Q = 0,5. При увеличении коэффициента усиления добротность растет и стремится к бесконечности, если α стремится к 2.