3.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр

Ранее была выведена фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов u(t) и v(t) – их скалярное произведение

,                                                  (3.1)

пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии сигнала

.                                                (3.2)

Скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) можно выразить через их спектральные плотности U(w) и V(w) с помощью обобщенной формулы Рэлея:

В равной мере справедливо равенство:

,

поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.

Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u(t) и v(t) функцию

,                                              (3.3)

такую, что

,                                            (3.4)

причем

.                                                (3.5)

Представив спектральные плотности сигналов u(t) и v(t) в виде суммы вещественных и мнимых частей:

,

убеждаемся, что взаимный энергетический спектр Wuv  функция, принимающая, в общем случае, комплексные значения:

                (3.6)

Нетрудно заметить, что ReWuv - четная, а ImWuv – нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (3.4) дает только вещественная часть, поэтому

.                                           (3.7)

Формула (3.7) дает возможность проанализировать “тонкую структуру” взаимосвязи сигналов. Наибольший вклад во взаимную энергию дают те частотные области, в которых имеется “перекрытие” спектров сигналов.

Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (3.7), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот (рис. 3.1).

 

Изложенный подход к вычислению скалярного произведения, основанный на понятии взаимного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в разделе 1 при вычислении скалярного произведения сигналов, разложенных по элементам ортогонального базиса. Разница состоит в том, что здесь используются не дискретное, а непрерывное Фурье-представление.