3.2.1. Принцип действия

Ток через конденсатор связан с напряжением на нем дифференциальной зависимостью:

Чтобы воспользоваться результатом дифференцирования, нужно создать напряжение, пропорциональное току iС. Это имеет место в цепи (рис. 3.1), в которой выходное напряжение снимается с резистора R:

где t = RC – постоянная времени цепи.

Однако напряжение uBX на входе этой цепи, которое должно подвергаться дифференцированию, отличается от uC. Оценим погрешность, обусловленную их разностью:

Первый член правой части этого равенства – полезный результат дифференцирования, второй член – ошибка. Она уменьшается с уменьшением t (но при этом одинаково уменьшается и полезный результат) и отсутствует при , т.е. когда uBЫX = U = const (в частности, когда uBЫX = 0).

Отсутствие ошибки при uBЫX = U = const объясняется тем, что в этом случае напряжение на конденсаторе (uC = uBXU) изменяется по тому же закону, что и uBX. Поэтому

т.e. выходное напряжение пропорционально производной входного напряжения.

Результат математического дифференцирования равен нулю, если дифференцируется постоянная величина; он равен постоянному отличному от нуля значению, если дифференцируется линейно изменяющаяся функция.

Когда на входе цепи (см. рис. 3.1) действует напряжение, соответствующее одной из таких функций, то установившееся выходное напряжение – результат его безошибочного дифференцирования.

Действительно, пусть к цепи (см. рис. 3.1) в момент t1 прикладывается напряжение uBX = U (рис. 3.2). Так как конденсатор С мгновенно зарядиться не может, то скачок напряжения выделяется на резисторе R. Благодаря малой постоянной времени t заряд конденсатора происходит сравнительно быстро, а напряжение на выходе с той же скоростью стремится к нулю. Установившееся значение (uBЫX = 0) – результат безошибочного дифференцирования постоянного уровня uBX = U.

Предположим теперь, что на цепь воздействует передний фронт пилообразного импульса длительностью tи – линейно изменяющееся напряжение uBX = at (рис. 3.3), где a – определяет скорость нарастания и имеет размерность В/с. Вначале скорость заряда конденсатора мала, так как напряжение на входе еще незначительно; поэтому большая часть uBX выделяется на выходе. С течением времени скорость заряда конденсатора возрастает и при t << tи приблизится к значению a задолго до окончания импульса.

После этого все изменения uBX выделяются по существу на конденсаторе, а напряжение на выходе цепи остается практически постоянным: uBЫX = ta. Это значение выходного напряжения пропорционально производной входного напряжения (uBX = at), т.е. является результатом его безошибочного дифференцирования.

Таким образом, напряжения uBX = U и uBX = at дифференцируются цепью (рис. 3.1) практически без ошибок, но результат такого дифференцирования устанавливается на выходе не сразу. Чем меньше t цепи, тем меньше это запаздывание и тем меньше погрешность дифференцирования.

Рассмотрим реакцию цепи (см. рис. 3.1) на прямоугольный импульс длительностью tи (рис. 3.4), когда t << tи. Воздействие положительного перепада уже описывалось: в момент t1 появления импульса положительный скачок напряжения Um выделяется на выходе, затем начинается заряд конденс
атора и напряжение на выходе становится практически равным нулю задолго до окончания входного импульса (t << tи).

С момента окончания входного импульса в цепи действует только напряжение uC, которое через генератор импульсов (его внутреннее сопротивление считаем равным

нулю) прикладывается к выходу, т.е. uBЫX с точностью до знака повторяет напряжение uC. Поэтому в момент t2 на выходе цепи появляется напряжение Um с отрицательной полярностью на верхнем (см. рис. 3.4) и с положительной на нижнем концах резистора. Этот отрицательный перепад быстро спадает до нуля, так как конденсатор быстро разряжается.

RC – цепь (см. рис. 3.4) с постоянной времени, много меньшей длительности входного импульса, называют  дифференцирующей.

Наиболее часто такую цепь используют для дифференцирования прямоугольных импульсов, в результате которого получаются короткие остроконечные импульсы (см. рис. 3.4). Поэтому дифференцирующую цепь называют также укорачивающей и  обостряющей.

Используются остроконечные импульсы широко, в частности, для пуска импульсных устройств. Сохраняя по существу крутой фронт исходного прямоугольного импульса, остроконечный импульс спадает настолько быстро, что не влияет на последующую работу запускаемого устройства.

Длительность tи остроконечных импульсов на выходе дифференцирующей цепи оценивается на определенном уровне: длительность по основанию оказывается бесконечно большой, так как напряжение спадает экспоненциально. Обычно tи определяют на уровне 0,5Um. В соответствии с этим запишем: , откуда  или .

Переходя от натуральных логарифмов к десятичным, получаем окончательно: tи = 2,3t lg2 = 0,7t.

Чем меньше постоянная времен изменение формы импульсов при дифференцировании легко объяснить, рассматривая их как совокупность гармоник, каждая из которых делится между конденсатором и резистором. Для низкочастотных гармоник, составляющих плоскую вершину входного импульса, сопротивление конденсатора ХС = 1/ wС оказывается много больше сопротивления резистора R. Поэтому на выход плоская вершина почти не передается.