3.2.3.    Частотный коэффициент передачи ЦФ

Предположим, что на вход линейного стационарного цифрового фильтра подана гармоническая последовательность  вида (3.8), неограниченно протяженная во времени, т.е. с индексом , принимающим значения  Для того чтобы вычислить выходной сигнал фильтра , воспользуемся формулой свертки (3.6) и найдем -й отсчет на выходе:

.

Выполнив тождественные преобразования, получим:

.

Введем новый индекс суммирования , тогда

.                                         (3.10)

Принципиально невозможно отличить два дискретизированных гармонических колебания, разность частот которых находится в целократном отношении с частотой дискретизации.

В соответствии с формулой (3.10) выходной сигнал имеет структуру дискретной гармонической последовательности с той же частотой, что и входной сигнал. Выходные отсчеты получаются из входных умножением на комплексную величину вида:

,                                             (3.11)

называемую частотным коэффициентом передачи ЦФ, зависящую от частоты , а также от шага дискретизации () и от совокупности коэффициентов  импульсной характеристики ЦФ.

Формула (3.11) позволяет сделать следующие выводы:

1) частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации ;

2) функция  есть преобразование Фурье импульсной характеристики ЦФ, представленной в форме последовательности дельта-импульсов: