3.2.4.    Системная функция ЦФ

Расчет важнейшей характеристики ЦФ – частотного коэффициента передачи удобно проводить, используя методы z-преобразований. Сопоставим дискретным сигналам  их z-преобразования  соответственно. Выходной сигнал фильтра  есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики. Ввиду свойств z-преобразования, выходному сигналу отвечает функция:

.                                               (3.12)

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называют отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (3.12) устанавливает, что системная функция фильтра

                                  (3.13)

есть z-преобразование импульсной характеристики.

Сравнивая выражения (3.11) и (3.13), приходим к следующему выводу: чтобы получить частотный коэффициент передачи ЦФ из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку .

Пример

Цифровой фильтр имеет импульсную характеристику, состоящую из двух ненулевых отсчетов: . Вычислить частотный коэффициент передачи  фильтра.

Определим системную функцию ЦФ, применив z-преобразование к импульсной характеристике

.

Выполнив подстановку , получим частотный коэффициент передачи:

.

Уравнение АЧХ фильтра имеет вид:

,

в то время как фазо-частотная характеристика (ФЧХ) описывается выражением:

.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра является периодической функцией, но практически она имеет смысл лишь в интервале частот от 0 до . На верхней частоте этого интервала каждому периоду дискретизированного гармонического сигнала соответствуют два отсчета. По теореме Котельникова – это есть предельное значение частоты сигнала, который может быть однозначно восстановлен по своим отсчетам. Заметим, что если на вход такого фильтра поступает гармонический сигнал с частотой, значительно более низкой, чем частота дискретизации, такой, что , то

.

Поэтому такая система приближенно выполняет операцию дифференцирования относительно медленных входных сигналов.