3.3.2.    Импульсная и Частотная характеристики

Вернемся к формуле (3.15) и вычислим импульсную характеристику нерекурсивного ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции  дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному

на n позиций в сторону запаздывания. Таким образом, импульсная характеристика описывается выражением:

.                                                (3.16)

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 3.4) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» . Важно отметить, что импульсная характеристика нерекурсивного фильтра содержит конечное число членов.

Если в формуле (3.15) произвести замену переменной , то получим частотный коэффициент передачи:

.                           (3.17)

При заданном шаге дискретизации (D) можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

Пример

Исследовать частотные характеристики нерекурсивного цифрового фильтра второго порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле:

.                                              (3.18)

Говорят, что подобный фильтр выполняет операцию «сглаживания тройками». Системная функция данного фильтра примет вид:

.

Зная системную функцию, находим частотный коэффициент передачи:

.

Выполнив элементарные тригонометрические преобразования, получим выражения для АЧХ и ФЧХ (рис. 3.5) данного ЦФ:

Предположим, например, что , т.е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов (см. рис. 3.6, а). При этом входная последовательность будет иметь вид:

,

абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен. Используя алгоритм (3.18), находим выходную последовательность:

Подпись:  

Рис. 3.6. Временные диаграммы работы цифрового фильтра: а – входной сигнал; б – выходной сигнал

Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной  от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на  в сторону запаздывания (рис. 3.6, б).

При  рассматриваемый фильтр сглаживает входную последовательность и может играть роль ФНЧ. Однако частотная характеристика фильтра периодична и немонотонна. Если исходный аналоговый сигнал не был подвергнут предварительной частотной фильтрации и в нем присутствуют составляющие, для которых  (условия теоремы Котельникова или критерия Найквиста не выполняются), то они не будут ослабляться данным ЦФ. Более того, из-за наличия высокочастотных составляющих цифро-аналоговый преобразователь восстановит некоторое низкочастотное колебание, которое совсем не содержалось во входном сигнале. Это паразитное явление (эффект «наложения» высокочастотных составляющих спектра) в принципе присуще любым дискретным системам. Оно заставляет уделять серьезное внимание предварительной обработке сигнала, подвергаемого цифровой фильтрации.