Под логической аксиомой понимается формула логико-математического языка, принимаемая в качестве аксиомы при построении формальной теории, истинная в любой структуре для данного языка в силу смысла логических символов. Логические аксиомы выбираются таким образом, чтобы множество логических следствий из аксиом в точности совпадало с множеством теорем.
Алгебра логики строится на основе следующих аксиом:
1) Переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений:
, если ; , если .
2) Вводится преобразование, называемое инверсией, такое, что
; ; ; .
3) Вводится преобразование, называемое дизъюнкцией, для которого справедливы соотношения:
; ; ; .
4) Вводится преобразование, называемое конъюнкцией, для которого справедливы соотношения:
; ; ; .
5) Соотношения для штриха Шеффера:
; ; ; ;.
6) Соотношения для стрелки Пирса:
;; ; ; .
Соотношения 1-6 проверяются подстановкой логических значений “0” и “1”.
На основе рассмотренных выше аксиом, выводятся теоремы, содержащие основные законы АЛ:
1) Коммутативный (переместительный) закон:
; .
2) Ассоциативный (сочетательный) закон:
; .
3) Дистрибутивный (распределительный) закон:
; .
4) Законы поглощения:
; .
5) Закон склеивания:
;
6) Законы инверсии (теоремы де Моргана):
; .
Справедливость любого закона АЛ можно доказать разными методами. Проще всего это можно сделать прямой подстановки вместо переменной значений 0 и 1. Ряд законов доказывается методом перебора всех возможных значений переменных, для которых проверяется справедливость закона. Для доказательства закона достаточно показать тождественность выражений, образующих левую и правую стороны доказываемого соотношения при всех наборах переменных, принимающих значения 0 или 1.