3.4.1.    Системная функция рекурсивного ЦФ

Как было упомянуто ранее, КИХ-фильтры не имеют реальных аналоговых эквивалентов. Самой близкой аналогией является фильтр скользящего среднего со взвешиванием. Кроме того, частотные характеристики КИХ-фильтров имеют только нули и не имеют полюсов. С другой стороны, БИХ-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования аналоговых фильтров.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Рекурсия – это математический прием, состоящий в циклическом обращении к данным, полученным на предшествующих этапах. Хотя БИХ-фильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ-фильтры, количеством вычислений, БИХ-фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ-фильтры. Более того, БИХ-фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ-фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины.

Рекурсивный цифровой фильтр характерен тем, что для формирования i-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигнала:

,                    (3.19)

причем, коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно.

Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (3.19), находим, что системная функция

,                           (3.20)

описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости n полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.