3.4.2.    Структурные схемы рекурсивных ЦФ

Подпись:  

Рис. 3.13. Структурная схема рекурсивного ЦФ

На рис. 3.13 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (3.19). Верхняя часть структурной схемы отвечает нерекурсивной части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае  масштабных блоков (операций умножения) и m ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы (рис.3.13). Здесь используются n последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига. Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. С этой точки зрения более совершенными считаются канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел m или n.

В качестве такого примера на рис. 3.14 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция вида:

.                                              (3.21)

Для того чтобы убедиться в том, что эта система (рис. 3.14) реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал  на выходе сумматора 1 и запишем два уравнения:

;                                              (3.22)

Подпись:  
Рис. 3.14. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 
2-го порядка
.                                            (3.23).

Выполнив z-преобразование уравнения (3.22), находим, что:

.                                    (3.24)

С другой стороны, в соответствии с выражением (3.23)

.                                    (3.25)

Объединив соотношения (3.24) и (3.25), приходим к заданной системной функции (3.21).

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.

Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис. 3.15. Фильтр работает по алгоритму, описываемому выражением:

Нули формируются коэффициентами прямой связи b0, b1 и b2; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a1 и a2.

Общее уравнение цифрового фильтра имеет вид:

Оно описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе:

Подпись:  
Рис. 3.16. Вторая форма структуры биквадратного рекурсивного фильтра

Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей.

Подпись:  
Рис. 3.17. Упрощенная схема биквадратного рекурсивного фильтра
Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации.

Данные п
ри вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.

Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рис. 3.16, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рис. 3.16, которая называется второй прямой фор

мой реализации и требует использования только двух регистров (сравните с канонической схемой). Мы уже убедились, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ-фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХ-фильтра, система обозначений при изображении БИХ-фильтра часто упрощается, как показано на рис. 3.17.