3.4.3     Устойчивость рекурсивных ЦФ

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений , то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности , играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т.е. значения  при  не превышают некоторого положительного числа M независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (3.19) являются решением линейного разностного уравнения:

.                                     (3.26)

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (3.26) в виде показательной функции:

,                                                               (3.27)

с неизвестным пока значением a. Подставив выражение (3.27) в выражение (3.26) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что a является корнем характеристического уравнения:

.                                        (3.28)

На основании выражения (3.20) уравнение (3.28) в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней  уравнения (3.28) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (3.26) будет иметь вид:

.                                         (3.29)

Коэффициенты  должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Если все полюсы системной функции H(z), т.е. числа , по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке , то на основании уравнения (3.29) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры. Нерекурсивные цифровые фильтры не являются динамическими системами и устойчивы при любом выборе коэффициентов.

Пример

Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией вида:

.

Характеристическое уравнение

имеет корни:

.

Кривая, описываемая уравнением , на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже – комплексно сопряжены.

Подпись:  
Рис. 3.18. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка

Для случая комплексно-сопряженных полюсов , поэтому одной из границ области устойчивости является прямая . Рассматривая вещественные полюсы при , имеем условие устойчивости в виде:

,

или

.

Возведя в квадрат обе части этого неравенства, видим, что границей области устойчивости является прямая . Аналогично исследуется случай . В результате приходим к выводу, что данный реку
рсивный фильтр устойчив, если значения коэффициентов  и  лежат внутри треугольной области (рис. 3.18).