Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений , то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности 
, играющей роль свободных колебаний.
Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т.е. значения 
при 
не превышают некоторого положительного числа M независимо от выбора начальных условий.
Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (3.19) являются решением линейного разностного уравнения:
. (3.26)
По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (3.26) в виде показательной функции:
, (3.27)
с неизвестным пока значением a. Подставив выражение (3.27) в выражение (3.26) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что a является корнем характеристического уравнения:
. (3.28)
На основании выражения (3.20) уравнение (3.28) в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.
Пусть система корней 
уравнения (3.28) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (3.26) будет иметь вид:
. (3.29)
Коэффициенты 
должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Если все полюсы системной функции H(z), т.е. числа 
, по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке 
, то на основании уравнения (3.29) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры. Нерекурсивные цифровые фильтры не являются динамическими системами и устойчивы при любом выборе коэффициентов.
Пример
Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией вида:
.
Характеристическое уравнение
имеет корни:
.
Кривая, описываемая уравнением 
, на плоскости коэффициентов
есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже – комплексно сопряжены.
Для случая комплексно-сопряженных полюсов 
, поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 
. Рассматривая вещественные полюсы при 
, имеем условие устойчивости в виде:
,
или
.
Возведя в квадрат обе части этого неравенства, видим, что границей области устойчивости является прямая 
. Аналогично исследуется случай 
. В результате приходим к выводу, что данный реку
рсивный фильтр устойчив, если значения коэффициентов 
и 
лежат внутри треугольной области (рис. 3.18).
