3.4.4.    Критерий устойчивости рекурсивного ЦФ

Задачу об устойчивости рекурсивного ЦФ произвольного порядка можно решить, выяснив, каким образом расположены корни многочленов на z-плоскости. Для этого заметим, что преобразование вида

.                                                        (3.30)

взаимно-однозначно отображает левую полуплоскость комплексной переменной w на единичный круг в комплексной плоскости z с центром в точке z=0. В то же время мнимая ось в w-плоскости, т.е. совокупность точек с координатами  (s – произвольное вещественное число), отображается в множество точек на окружности  (рис. 3.19).

Вертикальная линия, соответствующая мнимой оси на w-плоскости () отображается в единичную окружность на z-плоскости (r=1). Все вертикальные линии, находящиеся в левой полуплоскости w-плоскости будут отображаться в окружности внутри единичного круга на z-плоскости, а все вертикальные линии правой полуплоскости – в окружности снаружи единичного круга на z-плоскости.

Возьмем характеристическое уравнение ЦФ

   (3.31)

и подставим в него переменную z, выраженную через переменную w, согласно формуле (3.30):

.

Приведя последнее выражение к общему знаменателю , получим характеристическое уравнение относительно переменной w:

.

(3.32)

Отметим, что многочлен  не имеет корней в левой полуплоскости, поэтому приведение к общему знаменателю правомерно.

Если многочлен по степеням переменной w, образующий левую часть формулы (3.32), имеет корни лишь в левой полуплоскости, то исходный характеристический многочлен вида (3.31) имеет корни, располагающиеся лишь в единичном круге на z-плоскости. Как следствие, анализируемый рекурсивный ЦФ будет устойчивым.

Пример

Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 3-го порядка с характеристическим уравнением:

.

В соответствии с формулой (3.32) получи преобразованное уравнение:

.

Здесь все коэффициенты положительны, и в то же время главный минор больше нуля:

.

По критерию Рауса-Гурвица, данный многочлен устойчив. Значит, устойчив и анализируемый цифровой фильтр.