3.6.10.  Влияние квантования сигнала на работу цифрового фильтра

При проектировании ЦФ в некоторых случаях следует учитывать специфические погрешности их работы, возникающие за счет квантования сигналов, т. е. вследствие представления всех величин, как постоянных, так и изменяющихся во времени, в виде двоичных чисел с конечной разрядностью. Квантованный характер сигналов приводит к целому ряду явлений, описанных в литературе по цифровой фильтрации. Рассмотрим простейший эффект – возникновение так называемого шума квантования.

Пусть  – наибольшее значение аналогового сигнала на входе АЦП, которое еще не вызывает переполнения арифметических устройств фильтра. Если m – число двоичных разрядов, отводимых для представления чисел в фильтре, то очевидно, что квантование сигнала происходит с шагом:

.                                                   (3.57)

Квантованные отсчеты описывают мгновенные значения аналогового сигнала не точно, а с некоторой погрешностью, тем меньшей, чем меньше шаг квантования. Иными словами, отсчеты входного сигнала () фильтра являются суммами истинных значений () и отсчетов () некоторого дискретного случайного процесса, называемого шумом квантования:

.                                                        (3.58)

Теоретически и экспериментально показано, что в большинстве случаев, интересных для практики, последовательность  образована статистически независимыми случайными величинами, каждая из которых равномерно распределена на интервале от  до  и поэтому имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную:

.

Шум квантования, присутствующий на входе ЦФ, преобразуется этим фильтром. Пусть - дискретная последовательность, соответствующая входному шуму квантования, Для того чтобы найти l-й отсчет выходной последовательности , следует вычислить дискретную свертку входного шумового сигнала и импульсной характеристики фильтра:

.                                             (3.59)

Отсюда определяем функцию корреляции шума квантования на выходе:

.       (3.60)

В формуле (3.60) проводилось суммирование по индексу i. Положив m = 0, получим дисперсию шума на выходе цифрового фильтра:

.                                                  (3.61)

Таким образом, выходной шум квантования оказывается тем больше, чем медленнее уменьшаются отсчеты импульсной характеристики фильтра.