3.6.8.    Метод инвариантных частотных характеристик

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис. 3.28).

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот , относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот  цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству:

,                  (3.47)

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть  – передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты p. Если воспользоваться связью между переменными z и p: , то можно записать:

.   (3.48)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка выражения (3.48) в выражение  приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (3.48), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости p.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида:

,                                                      (3.49)

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в p-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем.

Пусть в выражении (3.49) выполнена замена переменной . Тогда

,

откуда вытекает соотношение между частотными переменными  и  аналоговой и цифровой систем:

.                                                     (3.50)

Если частота дискретизации достаточно велика , то, как легко видеть из формулы (3.50), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают.

В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (3.50). Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции  аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (3.49). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Спроектировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта. Частота среза для ЦФ . Частота дискретизации .

Прежде всего, определим шаг дискретизации:

.

По формуле (3.50) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

;

.

Как известно, передаточная функция аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта, рассматриваемая относите
льно нормированной комплексной частоты  имеет вид:

,                                          (3.51)

или при переходе к истинной комплексной частоте

.                                                  (3.52)

Выполнив в уравнении (3.52) замену переменной вида (3.49), находим системную функцию ЦФ:

.

Подставив в эту формулу числовые значения, получим следующий результат:

.