3.7.2.    Параметры эффекта Гиббса

Ряд (3.65) при усечении можно записать в следующем виде:

Сумма косинусного ряда равна:

,

отсюда следует:

.                                     (3.66)

Для определения местоположения максимумов и минимумов осцилляций функции (3.66) приравняем к нулю ее первую производную (подынтегральную функцию). При этом:

Амплитудные значения первых (максимальных) и вторых (противоположных по полярности) осцилляций функции приходятся соответственно на точки:

;

.

Период пульсаций равен:

,

т.е. интервалу дискретизации спектра при равном количестве отсчетов оператора фильтра и его спектра.

Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции G(w) на произвольной частоте главного частотного диапазона значения wk являются значениями Dwk относительно частоты скачка. Амплитудные значения функции в точках w1 и w2 (при подстановках w1 и w2 верхним пределом в выражение (3.66)) практически не зависят от количества членов ряда N и равны:

;             .

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает. Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9 и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна , а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0,5 до 0,5) равна . Это явление типично для всех функций с разрывом.

Можно рассмотреть это явление и с других позиций. Как известно, произведение функций отображается в частотном представлении сверткой их Фурье-образов. Отсюда:

.                      (3.67)

Правая часть выражения (3.67) и отражает математическую сущность явления Гиббса. Ограничение массива функции определенным количеством членов (умножением на П-окно, прямоугольную селектирующую функцию) отображается сверткой частотной характеристики функции с частотной характеристикой селектирующей функции (которую часто называют свертывающей функцией). Частотная характеристика прямоугольной функции хорошо известна,как функция отсчетов

,

и для П-импульса длиной 2N + 1 приведена на рис. 3.31 (для ряда значений N).

Чем больше N, тем уже центральный пик функции и, соответственно, будет меньше ширина переходной зоны, которая формируется на разрыве вместо скачка функции. Амплитуда самих осцилляций (по номеру от центрального пика) остается без изменений. Свертка этой частотной функции (Фурье-образа селектирующей функции) с частотной характеристикой усекаемых функций и порождает явление Гиббса на резких скачках частотных характеристик.