При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, так как приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к идеальному фильтру низких частот. Попытаемся реализовать передаточную функцию фильтра следующего вида:
в главном частотном диапазоне от -0,5 до 0,5.
Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:
.
Тогда коэффициент передачи в частотной области будет иметь вид:
. (3.68)
Результат усечения ряда Фурье до N = 7 приведен на рис. 3.32. Как видно из рисунка, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. По чисто практическим соображениям при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования.
|
|
Явление Гиббса наблюдается при усечении любых числовых массивов. При обработке физических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. При анализе усекаются корреляционные функции, и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощности, и пр. Во всех этих случаях мы можем столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров).
В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, так как они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.
