3.7.3.    Практический случай проявления эффекта Гиббса

При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, так как приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к идеальному фильтру низких частот. Попытаемся реализовать передаточную функцию фильтра следующего вида:

в главном частотном диапазоне от -0,5 до 0,5.

Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:

.

Тогда коэффициент передачи в частотной области будет иметь вид:

.                                  (3.68)

Результат усечения ряда Фурье до N = 7 приведен на рис. 3.32. Как видно из рисунка, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. По чисто практическим соображениям при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования.

Подпись:  

Рис. 3.32. Проявление эффекта Гиббса при усечении передаточной функции НЧ фильтра: а – заданная функция; б – реализованная функция N = 7


б

а

Явление Гиббса наблюдается при усечении любых числовых массивов. При обработке физических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. При анализе усекаются корреляционные функции, и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощности, и пр. Во всех этих случаях мы можем столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров).

В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, так как они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.