4.1.3.    Сингулярные операторы

Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:

                                       (4.11)

                             (4.12)

;                                       (4.13)

.                           (4.14)

Величина  здесь обозначает бесконечно малый предел интегрирования.

Двумерная дельта-функция может быть представлена как произведение двух одномерных дельта-функций ортогональных координат х, у:

,                                               (4.15)

где одномерные дельта-функции удовлетворяют одномерным соотношениям, аналогичным соотношениям (4.11, 4.12). Дельта-функция может быть также определена как предел некоторых функций, например:

прямоугольной функции

;                                  (4.16)

круговой функции

;                             (4.17)

гауссовой функции

;                              (4.18)

sinc-функции

;                                    (4.19)

бесселевой функции

,                                  (4.20)

где

;                                              (4.21)

;                                                 (4.22)

.                                                        (4.23)

Другим полезным свойством дельта-функции является следующее тождество:

,                   (4.24)

где .