Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:
(4.11)
(4.12)
; (4.13)
. (4.14)
Величина здесь обозначает бесконечно малый предел интегрирования.
Двумерная дельта-функция может быть представлена как произведение двух одномерных дельта-функций ортогональных координат х, у:
, (4.15)
где одномерные дельта-функции удовлетворяют одномерным соотношениям, аналогичным соотношениям (4.11, 4.12). Дельта-функция может быть также определена как предел некоторых функций, например:
прямоугольной функции
; (4.16)
круговой функции
; (4.17)
гауссовой функции
; (4.18)
sinc-функции
; (4.19)
бесселевой функции
, (4.20)
где
; (4.21)
; (4.22)
. (4.23)
Другим полезным свойством дельта-функции является следующее тождество:
, (4.24)
где .