4.1.4.    Линейные операторы

Двумерная система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции. В частном случае для отображения функции в функцию требуется, чтобы

,                 (4.25)

Подпись:  
Рис. 4.1. Представление функции, 
описывающей изображение, в виде 
суперпозиции дельта-функций
где  – некоторые постоянные (могут быть комплексными). Определение свойства суперпозиции можно легко распространить на отображение (4.9) общего вида.

Используя свойство дельта-функции (4.14), функцию на входе системы  можно представить как взвешенную сумму дельта-функций:

,

  (4.26)

где  – весовой множитель дельта-импульса, имеющего координаты  на плоскости  (рис. 4.1).

Если функция на выходе линейной системы

,                                               (4.27)

то

,                             (4.28)

или

.                             (4.29)

Для перехода от выражения (4.28) к выражению (4.29) был изменен порядок выполнения операций линейного преобразования и интегрирования. Линейный оператор действовал только на тот множитель подынтегрального выражения (4.28), который зависит от пространственных переменных . Запишем второй множитель подынтегрального выражения (4.29) следующим образом:

.                                     (4.30)

Будем называть эту функцию импульсным откликом двумерной системы. Импульсный отклик оптической системы часто называется функцией рассеяния точки.

Подстановка импульсного отклика в соотношение (4.29) дает интеграл суперпозиции:

.                              (4.31)

Подпись:  

Рис. 4.2. Изображение точечного источника света в оптической системе: 1 – входная плоскость; 2 – линза; 3 – выходная 
плоскость

Линейная двумерная система называется пространственно-инвариантной (изопланатической), если ее импульсный отклик зависит только от разностей координат . Для оптической системы (рис. 4.2) это значит, что при перемещении точечного источника в предметной плоскости изображение этого источника в плоскости фокусировки будет также изменять положение, но сохранять форму.

Для пространственно-инвариантной системы

   (4.32)

интеграл суперпозиции имеет особую форму, называемую интегралом свертки:

.                              (4.33)

Операция свертки символически записывается следующим образом:

.                                     (4.34)

Интеграл свертки симметричен, т.е.

.                           (4.35)

Процесс свертки иллюстрирует рисунок 4.3. На рис. 4.3, а и 4.3, б изображены функция  на входе и импульсный отклик. На рис. 4.3, в показан импульсный отклик при обращении координат, а на рис. 4.3, г – со сдвигом на величину . На рис.4.3, д заштрихована область, в которой произведение , входящее в подынтегральное выражение (4.33), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину  для заданных значений координат х, у. Таким образом, функция b> на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» – обращенным импульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются.