4.2.       Двумерное преобразование Фурье

В результате двумерного преобразования Фурье функции , описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется следующим образом:

,                           (4.40)

где  – пространственные частоты; .

Если обозначить оператор преобразования Фурье через , то можно записать:

.                                             (4.41)

В общем случае спектр  есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:

                                     (4.42)

или представить с помощью амплитуды и фазы:

,                                  (4.43)

где

                            (4.44)

Достаточным условием существования Фурье-спектра функции  является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. условие:

.                                                (4.45)

Исходная функция  может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

.                     (4.46)

Это соотношение в операторной форме можно записать следующим образом:

.                                            (4.47)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится

,                                (4.48)

а затем

.                             (4.49)

Рассмотрим несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье.

Функциональные свойства

1) Если функция  разделима по пространственным переменным, так что

,                                                           (4.50)

то

,                                            (4.51)

где  – одномерные Фурье-спектры функций .

2) Если  есть Фурье-спектр функции , то  является Фурье-спектром функции  (звездочка обозначает комплексную сопряженность).

3) Если функция  симметрична, т.е. , то

.

Линейность

Оператор преобразования Фурье линеен:

,                      (4.52)

где a, b – постоянные.

Изменение масштаба

Изменение масштаба пространственных переменных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:

.                                  (4.53)

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости  приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

Сдвиг

Сдви