4.4.2.    Интерполяционные функции

На рис. 4.10 приведены примеры одномерных интерполяционных функций. Как уже отмечалось, функция  (рис. 4.10, а) обеспечивает точное восстановление, но, как правило, ее трудно сформировать в реальной системе воспроизведения изображений. Простейшей интерполяционной функцией является прямоугольная функция (рис. 4.10, б), с помощью которой осуществляется интерполяция отсчетов многочленом нулевого порядка. Треугольная функция (рис. 4.10, в) обеспечивает линейную интерпо

ляцию первого порядка. Подобную функцию можно рассматривать как свертку двух прямоугольных функций.

Свертка треугольной функции с прямоугольной дает колоколообразную интерполяционную функцию (рис. 4.10, г). Повторением этого процесса можно быстро прийти к гауссовой интерполяционной функции (рис. 4.10, е). Многочлены второго порядка также пригодны для интерполяции отсчетов. Особенно удобным для интерполяции изображений является кубический В-сплайн (рис. 4.10, д), поскольку в результате интерполяции получается функция, непрерывная и гладкая в узлах интерполяции.

Кубический В-сплайн определяется соотношением:

,                     (4.84)

где

.                                                 (4.85)

Функцию (4.88), отличную от нуля только на четырех интервалах дискретизации, можно получить, выполнив свертку четырех прямоугольных функций. Процесс одномерной интерполяции с использованием функций sinc (x), а также прямоугольных и треугольных функций иллюстрирует рис. 4.11. В табл. 4.1 даны определения нескольких двумерных разделимых интерполяционных функций, для которых .

Таблица 4.1 Двумерные разделимые интерполяционные функции

Функция

Определение

sinc

Продолжение табл.4.1

Функция

Определение

Прямоугольная

Треугольная

Колоколообразная

Кубический В-сплайн

Гауссова

Следует отметить, что операция двумерной линейной интерполяции (или интерполяция многочленами первого порядка), аналогичная операции одномерной линейной интерполяции (рис. 4.11, в), отличается от ин
терполяции с помощью двумерных треугольных функций, представленных в табл. 4.1.

Операцию двумерной линейной интерполяции следует выполнять кусочно-линейным способом (рис. 4.12, а). В области I отсчеты линейно интерполируются плоскостью, заданной точками А, В и С, тогда как в области II они линейно интерполируются плоскостью, заданной точками B, C и D.

Подпись:  Рис. 4.12. Двумерная линейная интерполяция: а – кусочно-линейная;  б – билинейная

Непрерывный билинейный способ интерполяции (рис. 4.12, б), сводится к последовательной линейной интерполяции между парами точек, расположенных на прямых, параллельных осям координат. В результате образуется некоторая поверхность, проходящая через точки А, В, С, и D (рис. 4.12, б). Как правило, эта поверхность оказывается неплоской.