Дискретное двумерное преобразование Фурье матрицы отсчетов изображения определяется в виде ряда:
, (4.97)
где 
, а дискретное обратное преобразование имеет вид:
. (4.98)
По аналогии с терминологией непрерывного преобразования Фурье переменные 
называют пространственными частотами. Следует отметить, что не все исследователи пользуются определением (4.97), (4.98). Одни предпочитают помещать все масштабные постоянные в выражение для обратного преобразования, а другие изменяют знаки в ядрах на противоположные.
Поскольку ядра преобразования симметричны и разделимы, двумерное преобразование можно выполнить в виде последовательных одномерных преобразований по строкам и столбцам матрицы изображения. Базисными функциями преобразования являются экспоненты с комплексными показателями, которые можно разложить на синусную и косинусную составляющие. Таким образом,
(4.99)
Спектр изображения имеет много интересных структурных особенностей. Спектральная составляющая в начале координат частотной плоскости
(4.100)
равна увеличенному в N раз среднему (по исходной плоскости) значению яркости изображения.
Подставив в равенство (4.97)
и 
,
где 
и 
– постоянные, получим:
.
(4.101)
При любых целочисленных значениях 
и второй экспоненциальный множитель равенства (4.101) превращается в единицу. Таким образом, при 
,
, (4.102)
что свидетельствует о периодичности частотной плоскости. Этот результат иллюстрирует рисунок 4.14, а.
Двумерный спектр Фурье изображения является по существу представлением двумерного поля в виде ряда Фурье. Для того чтобы такое представление было справедливым, исходное изображение также должно обладать периодической структурой, т.е. иметь рисунок, повторяющийся по вертикали и горизонтали (рис. 4.14, б). Таким образом, правый край изображения примыкает к левому, а верхний край – к нижнему. Из-за разрывов значений яркости в этих местах в спектре изображения возникают дополнительные составляющие, лежащие на координатных осях частотной плоскости. Эти составляющие не связаны со значениями яркости внутренних точек изображения, но они необходимы для воспроизведения его резких границ.
Если массив отсчетов изображения описывает поле яркости, то числа 
будут действительными и положительными. Однако спектр Фурье этого изображения в общем случае имеет комплексные значения. Поскольку спектр содержит 
компонент, представляющих действительную и мнимую части или фазу и модуль спектральных составляющих для каждой частоты, может показаться, что преобразование Фурье увеличивает размерность изображения. Это, однако, не так, поскольку 
обладает симметрией относительно комплексного сопряжения. Если в равенстве (4.101) положить и равными целым числам, то после комплексного сопряжения получится равенство:
. (4.103)
С помощью подстановки 
и
src=https://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> можно показать, что
(4.104)
при 
.
Из-за наличия комплексно-сопряженной симметрии почти половина спектральных составляющих оказывается избыточной, т.е. их можно сформировать из остальных составляющих (рис. 4.15). Избыточными составляющими можно, конечно, считать гармоники, попадающие не в нижнюю, а в правую полуплоскость.
Фурье-анализ в обработке изображений используется в тех же целях, что и для одномерных сигналов. Однако в частотной области изображения не представляют какой-либо осмысленной информации, что делает преобразование Фурье не таким полезным средством анализа изображений. Например, когда преобразование Фурье применяется к одномерному аудиосигналу, то во временной области трудноформализуемая и сложная форма сигнала преобразуется в простой для понимания спектр в частотной области. Для сравнения, беря преобразование Фурье (трансформанту Фурье) изображения, мы преобразуем упорядоченную информацию в пространственной области (пространственном домене) в закодированную форму в частотной области (частотном домене). Короче говоря, не ожидайте, что преобразование Фурье поможет Вам понять информацию, закодированную в изображениях.
Аналогично, не стоит обращаться к частотной области при проектировании фильтра. Основной характерной особенностью в изображениях является граница – линия, отделяющая один объект или область от другого объекта или области. Так как контуры на изображении содержат в себе широкий диапазон частотных составляющих, то пытаться изменить изображение, манипулируя спектром частот – задача малоэффективная. Фильтры для обработки изображений обычно проектируются в пространственной области, где информация представлена в своей самой простой и доступной форме. При решении задач обработки изображений необходимо, скорее, оперировать терминами операций сглаживания и подчеркивания контуров (пространственный домен), чем в терминах фильтр верхних частот и фильтр нижних частот (частотный домен).
Несмотря на это, Фурье анализ изображения имеет несколько полезных свойств. Например, свертка в пространственной области соответствует умножению в частотной области. Это важно, потому что умножение – более простая математическая операция, чем свертка. Как и в случае с одномерными сигналами, это свойство позволяет выполнять свертку с использованием БПФ и использовать различные методы деконволюции. Другое полезное свойство в частотной области – это теорема Фурье сектора, устанавливающая соответствия между изображением и его проекциями (виды одного и того же изображения с различных сторон). Эта теорема составляет теоретическую базу таких направлений как копьютерная томография, рентгеноскопия, широко используемых в медицине и промышленности.
Частотный спектр изображения может быть вычислен несколькими способами, но наиболее практичным методом для вычисления спектра является алгоритм БПФ. При использовании алгоритма БПФ первоначальное изображение должно содержать N строк и N столбцов, причем число N должно быть кратно степени 2, т.е. 256, 512, 1024 и
т.д. Если исходное изображение по своей размерности не кратно степени 2, то необходимо добавить пиксели с нулевым значением, чтобы дополнить изображение до нужного размера. Вследствие того, что преобразование Фурье сохраняет порядок следования информации, амплитуды низкочастотных составляющих будут располагаться по углам двумерного спектра, в то время как высокочастотные составляющие будут находиться в его центре.
В качестве примера рассмотрим результат преобразования Фурье электронно-микроскопического изображения входного каскада операционного усилителя (рис.4.16). Так как в частотной области могут содержаться пиксели с отрицательными значениями, то шкала уровней «серого» этих изображений смещена таким образом, что отрицательные значения воспринимаются как темные точки на изображении, нулевые – как серые, а положительные – как светлые. Обычно низкочастотные составляющие спектра изображения по амплитуде намного больше, чем высокочастотные, что объясняет наличие очень ярких и очень темных точек в четырех углах на изображении спектра (рис. 4.16, б). Как видно из рисунка, типовой спе
