Автокорреляционная функция неограниченно протяжённого сигнала

Если требуется рассматривать неограниченно протяжённые во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.

Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т.е. импульсного, сигнала, когда длительность tи последнего стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости полученных выражений, определим новую АКФ как среднее значение скалярного произведение сигнала и его копии:

.                                    (3.19)

При таком подходе АКФ становится равной средней взаимной мощности этих двух сигналов.

Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды       u(t) = Ucosw0t, -¥ < t < ¥, можно воспользоваться формулой

,                         (3.20)

полученной для радиоимпульса длительностью tu, а затем перейти к пределу при tu®¥, учитывая определение (3.19). В результате получим

.                                          (3.21)

Эта АКФ сама является периодической функцией: её значение при t = 0 равно U2/2.

Подобная АКФ имеет физическую размерность мощности. Величина U2/2 есть средняя мощность, которую данный сигнал выделяет на активной нагрузке в 1 Ом.