Автокорреляционная функция сигнала

Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещённой во времени копии u(t-t) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии:

.                                         (3.14)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализированный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.14) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при t = 0 АКФ становится равной энергии сигнала:

.                                                    (3.15)

К числу простейших свойств АКФ можно отнести её чётность:

.                                                (3.16)

Действительно, ели в интеграле (3.14) сделать замену переменных x = t-t, то

.

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига t модуль АКФ не превосходит энергии сиг-нала:

.                                             (3.17)

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши-Буняковского

.                                         (3.18)

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t) АКФ может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.