Динамическое представление сигнала посредством -функции

Вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (см. рис.1.6, б). Если Sk – значение сигнала на k-м отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется так:

                                 (1.10)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S(t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых:

.                                                   (1.11)

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру k, который удовлетворяет неравенству:

tk t < tk+1

Если подставить (1.10) в (1.11), предварительно разделив и умножив на величину шага , то получим:

.

Переходя к пределу при 0, необходимо заменить суммирование интегриро-ванием по формальной переменной , дифференциал которой d будет отвечать величине .

Поскольку:

,

то получим искомую формулу динамического представления сигнала:

.                                         (1.12)

При этом размерности обеих частей формулы (1.12) оказываются одинаковыми. Можно усмотреть важное свойство -функции: ее физическая размерность такая же, как и размерность частоты, т. е. с-1. (дискретизация).

Итак, если непрерывную функцию умножить на -функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той же точке, где сосредоточен -импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство -функции.