Расчет электродинамических усилий в электрических аппаратах

При коротком замыкании в сети через токоведущую часть аппарата могут протекать токи, в десятки раз превышающие номинальный. При взаимодействии этих токов с магнитным полем других токоведущих частей ЭА создаются электродинамические усилия (ЭДУ). Эти усилия стремятся деформировать как проводники токоведущих частей, так и изоляторы, на которых они крепятся. При номинальных токах эти усилия  малы и ими можно пренебречь.

Электродинамической стойкостью аппарата называется  его способность противостоять ЭДУ, возникшим при прохождении токов к.з. Эта величина может выражаться либо непосредственно амплитудным значением тока iдин, при котором механические напряжения в деталях аппарата не выходят за пределы допустимых значений, либо кратностью этого тока относительно амплитуды номинального тока . Иногда электродинамическая стойкость оценивается действующими значениями тока за один период (Т = 0,02 с, f = 50 Гц)  после начала КЗ.

Для расчета ЭДУ используются два метода. В первом методе  ЭДУ определяется как результат взаимодействия проводника с током и магнитного поля по правилуАмпера.

На элементарный проводник длиной  dl, м,  с током i, А, находящийся в магнитном поле с индукцией В, Тл, созданной другим проводником  (рис. 1.6, а),  действует   усилие

DP = idlW ;  dP = iBdlsinb,

где bугол между векторами элемента dl и индукции B, измеряемый по кратчайшему расстоянию между ними.

Рис. 1.6. Направление ЭДУ, действующего на элемент с током

За направление dl принимается направление тока в элементе. Направление индукции В, создаваемой другим проводником, определяется по правилу буравчика, а направление усилия – по правилу левой руки.

Для определения полного электродинамического усилия, действующего на проводник длиной  l, необходимо просуммировать усилия, действующие на все его элементы

.                                                (1.16)

В случае произвольного расположения проводников в одной плоскости при          b = 90° формула (1.16) упрощается:

.

Описанный метод рекомендуется применять тогда, ког­да индукцию в любой точке проводника можно найти ана­литически, используя закон Био-Савара-Лапласа.

Второй метод основан на использовании энергетическо­го баланса системы проводников с током. Если пре­небречь электростатической энергией системы и принять, что при деформации токоведущих контуров или их перемещении под действием ЭДУ токи в них неизменны, то уси­лие можно найти по уравнению

Р = дW/дх,

где W – электромагнитная энергия; x – возможное пере­мещение в направлении действия усилия.

Таким образом, усилие определяется частной производ­ной от электромагнитной энергии данной системы по ко­ординате, в направлении которой оно действует. Эта фор­мула получила название энергетической.

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного конту­ра, так и энергией, определяемой магнитной связью меж­ду контурами, и для двух взаимосвязанных контуров

W = (1/2)L1i12 + (1/2)L2i22 + Mi1i2 ,

где L1, L2 – индуктивности изолированных контуров; i1, i2 - токи, протекающие в них;  М - взаимная индуктив­ность.

Первые два члена уравнения определяют энергию не­зависимых контуров, а третий член определяет энергию, обусловленную их магнитной связью.

Данное уравнение позволяет рассчитать как усилия, дей­ствующие в изолированном контуре, так и усилие взаимо­действия одного контура с другими.

Усилие внутри одного независимого контура

P = W/ x= (1/2) i2L /x.

При расчете усилия взаимодействия контуров считаем, что энергия изменяется только в результате изменения взаимного расположения контуров. Энергия, обусловлен­ная их собственной индуктивностью, считается неизменной. При расчете можно считать, что токи в контурах не зави­сят от их деформаций или их перемещения под действием усилий. В данном случае усилие взаимодействия между двумя контурами

Р = дWlдx= i1 i2дM/дx.

Энергетический метод удобен, когда известна аналити­ческая зависимость индуктивности или взаимной индуктив­ности от геометрических размеров.

Найдём направление ЭДУ, действующего на элемент dl1 с током i1 (см. рис. 1.6, б).

Линия индукции  В2, создаваемой током  i2, является окруж­ностью с радиусом r, лежащей в плоскости, перпендикулярной l2. Направление усилия dP1 определяется по пра­вилу левой руки и показано на рис. 1.6, б.

Для плоской задачи, когда все проводники лежат в одной плоскости, результирующая суммарная индукция, действующая на проводник, всегда

перпендикулярна этой плоскости. В этой же плоскости действует и усилие.

При определении направления усилия учитывается индукция, создаваемая всеми остальными проводниками, за исключением того проводника, для которого оно находит­ся. Рассмотрим направление усилия, действующего между параллельными проводниками (рис. 1.7, а). Проводник  l с током  I1 создает в месте расположения провод-ника 2 ин­дукцию B1. По правилу левой руки (рис. 1.7, б) определя­ем направление усилия P12.

При этом не следует рассмат­ривать взаимодействие тока i2 с полем, создаваемым про­водником 2.

Если ЭДУ определяется методом энергетического ба­ланса, направление усилия находят из следующих сообра­жений. Согласно Р = дW/дх положительному направлению уси­лия соответствует возрастание энергии системы дWx>0.

Таким образом,   усилие, действующее на токоведущие час­ти, направлено так, чтобы электромагнитная энергия си­стемы возрастала.

ЭДУ в витке

В ряде случаев токоведущая цепь аппарата выполняется в виде круговых витков или катушек (дугогасительные катушки контак­тов, автоматов, трансформаторы тока, реакторы).

При протекании токов короткого замыкания  ЭДУ возникают как в самих витках и катушках, так и между витками и катушками соседних фаз.

Оценим величину силы в круговом витке. Ин­дуктивность такого витка (при условии, что) выражается формулой

.

Поскольку известна аналитическая зависимость индуктивности от размеров витка, при определении ЭДУ целесообразно восполь­зоваться энергетическим методом. ЭДУ направлены по радиусу

.

Подпись:   Рис. 1.8. К расчету ЭДУ в витке Подставив в полученное уравнение выражение для индуктивности L и продифференцировав его, получим:

.

Сила приложена к окружности длиной . При расчете электродинамической устойчивости необходимо знать силу , разрывающую виток. Для определения рас­смотрим уравнение рав­новесия полувитка (рис. 1.8). Это усилие определится как

,

где – сила, действующая на единицу   длины, равная .

После интегрирования получим, что

.

Механические напряжения растяжения, возникающие в се­чении витка от этой силы, не должны превышать допустимых значений.

В том случае, когда обмотка имеет v витков, то индуктивность, следовательно, и сила возрастут пропорционально квадрату числа витков:

,

где – радиус сечения обмотки, состоящей из v витков.

Если круговой виток, обтекаемый током, находится в магнит­ном поле, создаваемом другими проводниками, то кроме внутрен­них сил, возникает дополнительная сила в результате взаимодей­ствия витка с внешним полем.

ЭДУ между витками

Рассмотрим силу взаимодействия двух круговых витков (рис. 1.9). Если расстояние между витками , соизмеримое с диаметрами и , мало отличается от , то взаимоиндуктивность может быть выражена формулой

Подпись:   Рис.1.9. К расчету ЭДУ между витками ,

где .

Вертикальную составляющую силы взаимодействия между витками определим, воспользовавшись энергетической формулой, поскольку известна зависимость ,

или  .

Знак «минус» говорит о том, что с ростом расстояния взаимоин­дуктивность уменьшается. Сила взаимодействия зависит от  и достигает максимума при   с = 0, тогда   ,  т. е. витки взаимодействуют так же, как два параллельных про­водника длиной на расстоянии и между собой.

Направление силы можно определить следующим образом: если потоки, создаваемые витками, направлены в одну сторону, то витки будут притягиваться (максимальное значение потокосцепления возникает при совпадении контуров). Если потоки контуров направлены в разные стороны, то витки будут отталкиваться (мак­симальное потокосцепление системы возникает при бесконечном удалении контуров друг от друга).

Следует отметить, что, кроме силы , на витки действует еще и радиальная сила от собственного тока и от взаимодействия этого тока с продольной составляющей поля, создаваемого другим вит­ком. Поскольку зависимость

известна, то для оп­ределения второй силы целесообразно воспользоваться энергети­ческими формулами

; .

ЭДУ между катушками

Для расчета сил, действующих между цилиндрическими ка­тушками, удобно пользоваться энергетической формулой  .

Подпись:   Рис.1.10. Кривые Двайта для опре-деления производной  Производную определяем с помощью семейства кривых Двайта, представленных на рис. 1.10. Эти кривые справедливы для катушек, у которых

>0,5, .

Для плоских катушек, у которых <0,5, величину можно найти по кривым Хака.

ЭДУ при переменном токе

При расчете контакторов, автоматов защиты и ряда других электрических аппаратов необходимо учитывать большие ЭДУ, действующие в их токоведущих частях при режиме КЗ.

Однофазная цепь. Пусть ток в проводнике и токоведущих частях не имеет апери-одической составляющей и из­меняется по закону

i = Im sin wt, где Im - амплитудное значение  тока; w -  угловая частота.

При одинаковом направлении тока проводники притягиваются с усилием

P = 10 –7kIm2sin2 wt = (1- cos wt),

где Рm - максимальное значение усилия, равное 10 -7 kIm2.

Таким образом, усилие имеет постоянную составляю­щую Рm /2 и переменную составляющую двойной частоты (Pm/2)cos2wt.

Среднее значение усилия за период

где   I - действующее значение тока; c = 10 –7 k.

Подпись:   Рис.1.12. Зависимость ЭДУ при наличии апериодической составляющей тока Таким  образом, среднее значение ЭДУ пропорцио­нально квадрату действующего значения тока. Изменение усилия во времени при переменном токе в однофазной це­пи (рис. 1.11) происходит без изменения своего знака.

Подпись:   Рис. 1.11. Зависимость ЭДУ  при однофазном переменном токе Иногда включение аппарата происходит при наличии КЗ в цепи нагрузки. Обычно в сетях высокого напряжения активное сопротивление R цепи и ее индуктивность L свя­заны соотношением wL>>R. Если включение происходит в момент времени, когда принужденная составляющая тока iпр = 0, то свободной составляющей в цепи не возникает и апериодическая составляющая отсутствует. Если включение происходит в любой другой момент времени, то возникает свободная апериоди­ческая составляющая, которая в момент t = 0 равна и обратно по знаку принужденной составляющей. Причина возникновения апериодической составляющей — наличие в цепи индуктивности L. Поскольку энергия в ин­дуктивности Li2/2 не может меняться скачком, ток в цепи всегда нарастает с нулевого значения. Если при t = 0 ток ioпр ¹ 0, то возникает свободный ток iсв = -i0пр.

Свободная  составляющая спадает во времени по закону iсв=iсв0 , где Ta = L /R—постоянная времени апериодической состав­ляющей тока цепи.

Наибольшая апериодическая составляющая появляется при условии  t

= 0; . Если при t = 0 , то результирующий ток в цепи изменяется по закону . Через время  ток в цепи достигает наибольшего значения, которое называется ударным

.

Ударный коэффициент kуд зависит от постоянной времени Та. Чем больше индуктивность L и меньше активное сопротивление R, тем больше kуд. Параметры тока к.з. – его значение, угол сдвига фаз между током и напряжением, постоянная времени  зависят от свойств контура КЗ, включающего в себя энергетическую установку (генератор, трансформатор), линии электропередачи, кабели и т.п.

Апериодическая составляющая имеет существенное значение только в цепях с wL>>R.

В этом случае принужденная составляющая тока iпр отстает от напряжения на 900. Таким образом, наибольшее значение апериодической составляющей соответствует включению цепи при прохождении напряжения через нулевое значение.

При наличии апериодической составляющей тока усилие изменяется во времени по закону (рис. 1.12)

.

Наибольшего значения усилие достигает через полпериода после начала короткого замыкания.

При kуд = 1,8 будет иметь значение

.

Трехфазная система при наличии апериодической со­ставляющей тока. В однофазной системе теоретически воз­можен случай КЗ, при котором апериодическая составляю­щая тока будет равна нулю. В трехфазной системе апериодическая составляющая тока появляется при одно­временном замыкании всех трех фаз, так как ни в какой момент времени все три тока не могут быть равны нулю. Наличие этой составляющей в токе к.з. влияет на ЭДУ.

Максимальное значение возникающих в этом случае ЭДУ зависит как от момента включения относительно амп­литуды периодической составляющей тока, так и от време­ни. Решение этой задачи довольно сложно. Поэтому расчет ЭДУ с учетом апериодической составляющей целесообраз­но проводить по упрощенной методике, обеспечивающей погрешность и сторону запаса. Эта методика полагает, что во всех трех фазах апериодическая составляющая одина­кова, равна амплитуде периодической и не меняется во времени. Тогда максимальное отталкивающее усилие, дей­ствующее на провод фазы 1

P1ОТmax=0,805c(kуд Im)2.

Максимальное усилие, действующее на провод средней фазы

P2max= 0, 87c(kуд Im)2.