Энергетический спектр сигнала

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы  u(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула (3.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

.                                       (3.8)

Величина Wu(w) носит название спектральной плотности энергии сигнала u(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так:

.                                         (3.9)

Соотношение (3.9) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал положительных частот Dw обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный

,

где w’ – некоторая внутренняя точка данного интервала.

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье, применительно к самим сигналам, основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складываются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами.

Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (3.8), энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы.

Тем не менее, понятие энергетического спектра оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра того или иного сигнала.

Пример 3.1.  Энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса.

Результат получается путём возведения в квадрат спектральной плотности вида (2.20):

.                                       (3.10)

Соответствующий график приведён на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса  как функция безразмерной частотной переменной wtи

Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр данного сигнала имеет наибольшую величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответствующих спектральных составляющих имеет немонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция – уменьшение энергетического спектра по закону обратного квадрата: , при w®¥, (а не обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала).

Выражение (3.10) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением. Прежде всего, во временной области без труда находим энергию данного видеоимпульса:

.                                                     (3.11)

Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, необходимо вычислить интеграл

.                                     (3.12)

Произведем замену переменной ,

тогда , используя табличный интеграл вида:

.