Энергия сигнала, представленного в форме обобщённого ряда Фурье

Рассмотрим некоторый сигнал s(t), разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

,

и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

.                      (1.32)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами  i = j. Отсюда:

.                                                    (1.33)

Формула (1.33) обобщает теорему Пифагора на случай бесконечномерных пространств. Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.