Рассмотрим некоторый сигнал s(t), разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:
,
и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:
. (1.32)
Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами i = j. Отсюда:
. (1.33)
Формула (1.33) обобщает теорему Пифагора на случай бесконечномерных пространств. Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.
