[ads-pc-1]

3.11. Разложение сложной дроби на простые составляющие

Из курса матема­тики известно, что дробь

при условии, что n < m и что полином М (x) = 0 не имеет кратных кор­ней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

, (*)

или

,

где xk –корни уравнения М(x) = 0.

Для определения коэффициента A1 умножим обе части уравнения (*) на (x – x1), получим:

(**)

Рассмотрим выражение (**) при х стремящемся к х1. Правая часть уравнения дает А1, левая часть представляет собой неопределенность, так как множи­тель (x – x1) при х ® х1 дает нуль и знаменатель М(х) при х = х1 тоже дает нуль, так как х1 есть корень уравнения М (х) = 0.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

,

где М’(х) – производная от М(х) по х; М’(х1) – значение М’(х) при х = х1; N(х1) – значение N(х) при х = х1. Следовательно, при х > 1 получаем уравнение:

.

Аналогично,

Таким образом:

или

.


[ads-pc-2]