5.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами

Пусть R0 – продольное активное сопротивление единицы длины линии (рис. 5.2); L0 – индуктивность единицы длины линии; С0 – емкость единицы длины линии; G0 – по­перечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводи­мость G0 не является обратной величиной продольного сопротивле­ния R0.

Разобьем линию (рис. 5.2) на участки длиной dx, где x – рас­стояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx: активное сопротивление равно R0dx; индуктивность – L0dx; проводимость утечки – G0dx; емкость – С0dx.

Обозначим ток в начале рассматри­ваемого участка линии через i и напряжение между проводами линии в начале участка и. И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в даль­нейшем в уравнениях использованы частные производные от и и i по времени t и расстоянию х.

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматри­ваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен:

,

где – скорость изменения тока в направлении х. Ско­рость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.

Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно:

u+dx.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:

-u + R0 dxi + L0 dx + u + dx = 0.

После упрощения и деления уравнения на dx получим:

- = L0 + R0i.

(5.1)

По первому закону Кирхгофа,

i = di + i + dx. (5.2)

Ток di (рис. 5.2) равен сумме токов, проходящих через проводи­мость G0dx и емкость С0dx:

di = (u + dx) G0 dx + C0 dx (u

+ dx).

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получаем

di = u G0 dx + C0 dx .

(5.3)

Подставим выражение (5.3) в выражение (5.2), упростим и поделим полученное уравнение на dx:

- = G0 u + C0 .

(5.4)

Уравнения (5.1) и (5.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.