Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости

Структура ряда Фурье дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости.

Построение осуществляют следующим образом (рис. 2.3). Из начала координат комплексной плоскости (точка 0) строят вещественный вектор C0,    который отображает член с номером n = 0. Затем в формуле (2.11) полагают t = 0 и строят суммы векторов

C+ = C1 + C2 + C3 + …,

C- = C-1 + C-2 + C-3 + …,

отвечающие вкладу слагаемых с положительными и отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то каждая из сумм отображается вектором конечной длины. Коэффициенты ряда Фурье с положительными и отрицательными частотами комплексно сопряжены, поэтому вектор C+ + C- всегда вещественный. Будучи сложен с постоянной составляющей C0, он образует вектор, длина которого равна s(0) – значению сигнала в начальный момент времени.

В дальнейшем картина трансформируется – векторы C1, C2, …, соответствующие положительным частотам, вращаются с угловыми скоростями w1, w2, … в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы C-1, C-2, … вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Для сходимости ряда Фурье необходимо, чтобы длины символических векторов, отвечающих высшим гармоникам, достаточно быстро уменьшались с ростом их    номеров.