Чтобы найти изображение первой производной сигнала, следует выполнить интегрирование по частям:
.
Легко видеть, что изображение первой производной содержит значение сигнала в начальной точке:
. (2.55)
По индукции доказывается формула для изображения производной n-го порядка:
. (2.56)
Возможность учитывать начальное состояние сигнала при t = 0 позволяет применять метод преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями.