Комплексная форма ряда Фурье

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

,  k = 0, ±1, ±2.                                   (2.8)

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом T и ортонормированны на отрезке времени [-T/2, T/2], так как

Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения. Поэтому при вычислении скалярного произведения используется операция комплексного сопряжения.

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

                                    (2.9)

с коэффициентами

.                             (2.10)

Обычно используют следующую форму записи:

,                                          (2.11)

.                                         (2.12)

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел (рис. 2.2). Положительной частоте соответствует вектор, вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной частоте – вектор, вращающийся по часовой стрелке.