Линейное пространство сигналов

Пусть М= {S1(t), S2(t), ….} – множество сигналов. Причина объединения этих объектов – наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества М.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1) Любой сигнал uM при любых t принимает лишь вещественные значения.

2) Для любых uM и vM существует их сумма w = u + v, причем w также содержится в М. Операция суммирования коммутативна: u + v = v + u и ассоциативна:     u + (v + x) = (u + v) + x.

3) Для любого сигнала  sM и любого вещественного числа определен сигнал   = sM.

4) Множество M содержит особый нулевой элемент Æ, такой, что u + Æ = u  для всех uM.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.