Ограничения, накладываемые на частотный коэффициент передачи

Далеко не каждая функция К(jw) может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика h(t) такой системы обязана быть вещественной. В силу свойств преобразования Фурье это означает, что:

.                                               (4.26)

В соответствии с формулой (4.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть чётная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечётная функция частоты.

Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнить условия физической реализуемости (4.12) и (4.14). Приведём без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли – Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл:

.                                           (4.27)

Рассмотрим конкретный пример, имеющий свойства частотного коэффициента передачи линейной системы.

Пример 4.2. Некоторая линейная стационарная система имеет свойства идеального ФНЧ, т.е. её частотный коэффициент передачи задаётся системой равенств:

.

На основании выражения (4.20) импульсная характеристика такого фильтра

.                                (4.28)

 

Симметрия графика этой функции относительно точки t = 0       (рис. 4.2) свидетельствует о нереализуемости идеального фильтра нижних частот. Этот вывод непосредственно вытекает из критерия Пэли – Винера. Действительно, интеграл (4.27) расходится для любой АЧХ, которая обращается в нуль на некотором конечном отрезке оси частот.

Несмотря на нереализуемость идеального ФНЧ, эту модель с успехом используют для приближённого описания свойств частотных фильтров, полагая, что функция K(jw) содержит фазовый множитель, линейно зависящий от частоты   (рис. 4.3):

.

                  

Как нетрудно проверить, здесь импульсная характеристика

.                                          (4.29)

Параметр t0, равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задержку во времени максимума функции h(t). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение t0 (рис. 4.4).