Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису

Для сигнала s(t) введём конечномерную аппроксимацию:

с неизвестными пока коэффициентами Ck и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации:

.                            (1.34)

Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удовлетворять системе линейных уравнений

,     m=0, 1, 2, …, N.                                    (1.35)

В развёрнутой форме энергия ошибки аппроксимации

.

Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что

.

Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если

 т. е.

соответствует условию обобщённого ряда Фурье. При разложении сигнала в обобщённый ряд Фурье обеспечивается минимум энергии ошибки аппроксимации.

Гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N – числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.