Ортогональные сигналы и обобщённые ряды Фурье

Два сигнала u и v называются ортогональными (рис. 1.13), если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.                                            (1.25)

Пусть H – гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени [t₁, t₂], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций {u₀, u₁, …, u_n, …}, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами

                                                  (1.26)

Рис. 1.13. Примеры ортогональных сигналов

В этом случае в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t)ÎH в ряд:

,                                                (1.27)

данное выражение называется обобщённым рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном   базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию u_k с произвольным номером k, умножим на неё обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:

.                                   (1.28)

 

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером i = k, поэтому

.             (1.29)

На геометрическом языке интерпретация формулы (1.29) такова (рис. 1.14): коэффициент обобщённого ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление.

Возможность представления сигналов посредством обобщённых рядов Фурье даёт возможность характеризовать эти сигналы счётной (бесконечной) системой коэффициентов обобщённого ряда Фурье C_k.