Основные соотношения

Пусть f(t) – некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определённый при t³0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной p, задаваемой интегралом:

.                                            (2.53)

Сигнал f(t) называется оригиналом, а функция F(p) – его изображением по Лапласу (для краткости, просто изображением).

Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.53), заключается в следующем: сигнал f(t) должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при t > 0, т.е. должен удовлетворять неравенству ïf(t)ï £ A exp(at), где A, a – положительные числа.

При выполнении этого неравенства функция F(p) существует в том смысле, что интеграл (2.53) абсолютно сходится для всех комплексных чисел p, у которых Re p > a. Число a называют абсциссой абсолютной сходимости.

Переменная p в основной формуле (2.53) может быть отождествлена с комплексной частотой p = s + jw. Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда s = 0, формула (2.53) переходит в формулу (2.16), определяющую Фурье-преобра-зование сигнала, который равен нулю при t < 0. Таким образом, преобразование Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье на случай комплексных частот.

Подобно тому, как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье

следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной jw к комплексному аргументу  s + jw. На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяжённой вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости.

Поскольку при  s = const дифференциал dw = (1/j)dp, формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид

.                                       (2.54)

В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают “хорошими” свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости p, за исключением счётного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило, – полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычисления интегралов вида (2.54) можно использовать гибкие методы теории вычетов.