Понятие комплексной частоты

Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону exp(jwt).

Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида exp(pt), где p – комплексное число: p = s + jw, получившее название комплексной частоты.

Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему закону:

,                                           (2.51)

где p* = s – jw – комплексно-сопряжённая величина.

Действительно, при этом:

.                                (2.52)

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы (рис. 2.17). Так, если s = 0, но w¹0, получаются обычные гармонические колебания вида Cos(wt). Если же w = 0, то в зависимости от знака s получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда w ¹ 0. Здесь множитель exp(st) описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени.

Рис. 2.17. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты

Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это даёт возможность, не прибегая к обобщённым функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы. Существенно и другое соображение: экспоненциальные сигналы вида (2.52) служат “естественным” средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах.

Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота w служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части s комплексной частоты специального термина не существует.