Примеры ортонормированных базисов

Ортонормированная система гармонических функций. Система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом образует ортонормированный базис (рис. 1.15).

                (1.30)

Рис. 1.15. Графики функций ряда Фурье и Уолша

Ортонормированная система функций Уолша. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормированной системе функций Уолша, которые на отрезке своего существования [-T/2, T/2] принимают лишь значения ±1.

Введём безразмерное время J = t/T и будем обозначать k-ю функцию Уолша, как это принято, символом wal (k, J). Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении k:

.

Сигналы, соответствующие функциям Уолша, легко генерируются с помощью микроэлектронных переключательных схем.

Разложение сигнала с конечной энергией, заданного на отрезке времени [-T/2, T/2], в обобщённый ряд Фурье по функциям Уолша имеет вид

.                                          (1.31)