Решение дифференциальных уравнений операторным методом

Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть дифференциальное уравнение:

                      (4.56)

устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой     линейной стационарной системы. Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал uвх(t) = 0 при t < 0. Кроме того, исходя из специфики работы радиотехнических устройств, начальные условия выберем нулевыми: .

Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобразования Лапласа. Математически нулевые начальные условия означают, что до момента возникновения входного сигнала система не содержит запасённой энергии.

Обозначим закон соответствия между оригиналами и изображениями следующим образом: uвх(t)«Uвх(p), uвых(t)«Uвых(p). Вычислив преобразования Лапласа от обеих частей уравнения (4.56), получим

                             (4.57)

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов:

,                                                    (4.58)

называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи рассматриваемой системы.

В соответствии с формулой (4.57) имеем:

.                                 (4.59)

Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа:

1) ;

2) ;

3) .

В рамках операторного метода передаточная функция является полной математической моделью системы.

Термин “операторный метод” исторически восходит к известным работам Хевисайда, который ещё в конце XIX века предложил символический способ решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных электрических цепях. Метод Хевисайда основан на символической замене оператора дифференцирования d/dt комплексным числом р.